Question

12．如圖，MN為一個(gè)豎直放置的四分之一光滑絕緣圓弧軌道，軌道半徑等于R．一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球，從M點(diǎn)靜止開(kāi)始沿圓弧軌道下滑，經(jīng)最低點(diǎn)N沿水平方向垂直進(jìn)入寬為d的有界正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，C₁C₂和D₁D₂為電磁場(chǎng)的邊界，已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E₁=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上，勻強(qiáng)磁場(chǎng)B方向垂直紙面向里，小球經(jīng)過(guò)正交電磁場(chǎng)后從P點(diǎn)與D₁D₂邊成θ角射出，進(jìn)入另一勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出），沿PQ作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，到Q點(diǎn)時(shí)速度減為零，整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡均在同一豎直平面內(nèi)，重力加速度取g．求：
（1）正交電磁場(chǎng)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，所在勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域的強(qiáng)度的最小值E₂的大小和方向；
（3）在（2）問(wèn)的電場(chǎng)下，PQ之間的距離．

Answer 1

分析 此題的物理過(guò)程小球?yàn)橄葟膱A弧軌道下滑，以水平速度進(jìn)入三種場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后進(jìn)入兩種場(chǎng)中復(fù)合場(chǎng)Ⅱ做勻減速運(yùn)動(dòng)至速度為零．要注意的是小球的重力不能忽略．
（1）由題設(shè)知：在復(fù)合場(chǎng)Ⅰ中，重力與電場(chǎng)力抵消，所以小球在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由幾何關(guān)系求得半徑，再由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）小球沿PQ作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則合力方向沿QP方向，根據(jù)平行四邊形定則求得電場(chǎng)力從而得到電場(chǎng)強(qiáng)度．
（3）動(dòng)能定理求得PQ之間的距離．

解答 解：（1）小球從M到N，據(jù)機(jī)械能守恒律得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
從而得：$v=\sqrt{2gR}$
進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)Ⅰ中，由于${E}_{1}=\frac{mg}{q}$，即E₁q=mg，所以重力與電磁力抵消．
小球在在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心在C₁C₂線上．由幾何關(guān)系小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑：
  $r=\fracytwor7l{cosθ}$…②
由牛頓第二定律有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$…③
聯(lián)立上述幾式得：$B=\frac{m\sqrt{2gR}cosθ}{qd}$
（2）小球從P到Q，受到重力、電場(chǎng)力作用做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由題意知兩力合力方向沿著QP方向．
而由于求電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值，由幾何關(guān)系知，當(dāng)E₂最小時(shí)，E₂垂直于PQ．由幾何關(guān)系得到：
E_2minq=mgsinθ…④
所以：電場(chǎng)強(qiáng)度最小值為：${E}_{2nin}=\frac{mgsinθ}{q}$．
（3）從P到Q，據(jù)動(dòng)能定理：
$-mgcosθ•S=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入得：PQ之間的距離為：$S=\frac{\sqrt{2gR}}{2gcosθ}$．
答：（1）正交電磁場(chǎng)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度$\frac{m\sqrt{2gR}cosθ}{qd}$．
（2）小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，所在勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域的強(qiáng)度的最小值$\frac{mgsinθ}{q}$，方向垂直于PQ斜向左上方．
（3）在（2）問(wèn)的電場(chǎng)下，PQ之間的距離$\frac{\sqrt{2gR}}{2gcosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)有二：①是小球重力與電場(chǎng)力抵消，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，②是在復(fù)合場(chǎng)Ⅱ中受電場(chǎng)力和重力做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則合力與運(yùn)動(dòng)方向相反，再由矢量合成法則得最小值垂直于PQ．