Question

如圖所示，一對(duì)光滑的平行金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌間距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的電阻，一質(zhì)量m=0.1kg，電阻r=0.1Ω的金屬棒MN放置在導(dǎo)軌上，整個(gè)裝置置于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T，棒在水平向右的外力作用下，由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒運(yùn)動(dòng)的位移x=9m時(shí)速度達(dá)到6m/s，此時(shí)撤去外力，棒繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段距離后停下來，已知撤去外力前后回路中產(chǎn)生的焦耳熱之比Q₁：Q₂=2：1，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸，求：
（1）棒在勻加速運(yùn)動(dòng)過程中，通過電阻R的電荷量q；
（2）金屬棒MN做勻加速直線運(yùn)動(dòng)所需外力隨時(shí)間變化的表達(dá)式；
（3）外力做的功W_F．

Answer 1

分析：（1）棒在勻加速運(yùn)動(dòng)過程中，由法拉第電磁感應(yīng)定律

.

E

=

△Φ

△t

、閉合電路的歐姆定律

.

I

=

. E

R+r

，推導(dǎo)出電荷量q的表達(dá)式q=

△Φ

R+r

，△Φ=BLx即可求得q．
（2）金屬棒MN做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出棒的加速度，由E=Blv，I=

E

R+r

、F=BIL、v=at得到安培力與時(shí)間的關(guān)系式，運(yùn)用牛頓第二定律列式，得到外力隨時(shí)間變化的表達(dá)式；
（3）撤去外力后棒在安培力作用下做減速運(yùn)動(dòng)，安培力做負(fù)功先將棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能，再通過電流做功將電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以焦耳熱等于棒的動(dòng)能減少．撤去外力前拉力做正功、安培力做負(fù)功（其大小等于焦耳熱Q₁）、重力不做功共同使棒的動(dòng)能增大，根據(jù)動(dòng)能定理求解外力做的功．

解答：解：（1）設(shè)棒勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為△t，回路的磁通量變化量為△Φ，回路中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

.

E

．
由法拉第電磁感應(yīng)定律得

.

E

=

△Φ

△t

  
其中△Φ=BLx  
設(shè)回路中的平均電流為

.

I

，由閉合電路的歐姆定律得：

.

I

=

. E

R+r

則通過電阻R的電荷量為q=

.

I

△t  
聯(lián)立①②③④式，代入數(shù)據(jù)得：q=

△Φ

R+r

=

BLx

R+r

=

0.4×0.5×9

0.3+0.1

C=4.5C  
（2））設(shè)撤去外力時(shí)棒的速度為v，對(duì)棒的勻加速運(yùn)動(dòng)過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v²=2ax
得：a=

v2

2x

=

62

2×9

m/s²=2m/s²
E=Blv，I=

E

R+r

   
由安培力公式和牛頓第二定律得：F-BIl=ma
得：F=0.2+0.2t    
（3）撤去外力后棒在安培力作用下做減速運(yùn)動(dòng)，安培力做負(fù)功先將棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能，再通過電流做功將電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以焦耳熱等于棒的動(dòng)能減少．有
  Q₂=△E_k=

1

2

mv2=

1

2

×0.1×62J=1.8J     
根據(jù)題意在撤去外力前的焦耳熱為 Q₁=2Q₂=2×1.8J=3.6J
撤去外力前拉力做正功、安培力做負(fù)功（其大小等于焦耳熱Q₁）、重力不做功共同使棒的動(dòng)能增大，根據(jù)動(dòng)能定理有△E_k=W_F-Q₁       
則 W_F=Q₁+△E_k=3.6J+1.8J=5.4J  
答：（1）棒在勻加速運(yùn)動(dòng)過程中，通過電阻R的電荷量q為4.5C；
（2）金屬棒MN做勻加速直線運(yùn)動(dòng)所需外力隨時(shí)間變化的表達(dá)式為F=0.2+0.2t；
（3）外力做的功W_F為5.4J

點(diǎn)評(píng)：解決該題關(guān)鍵要分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，清楚運(yùn)動(dòng)過程中不同形式的能量的轉(zhuǎn)化，知道運(yùn)用動(dòng)能定理求解變力做功．