Question

1．如圖，在豎直平面內(nèi)有由$\frac{1}{4}$圓弧AB和$\frac{1}{2}$圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為$\frac{R}{2}$．一質(zhì)量為m的小球在A點(diǎn)正上方與A相距$\frac{R}{2}$處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)．重力加速度為g．求：
（1）小球在B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大��；
（2）通過計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)？若能，求從C點(diǎn)拋出后到AB弧上的落點(diǎn)與B點(diǎn)的豎直高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對小球的壓力，再得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)向心力公式求出小球到達(dá)C點(diǎn)的最小速度，再由動(dòng)能定理求小球到達(dá)C點(diǎn)的速度，作出比較，即可判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式和幾何關(guān)系列式，求出平拋的時(shí)間，再求豎直高度．

解答 解：（1）小球由靜止運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
mg（$\frac{R}{2}$+R）=$\frac{1}{2}$mv$_B^2$-0
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{v^2}{{\frac{R}{2}}}$
解得  F_N=7mg
由牛頓第三定律小球在B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小是7mg．
（2）假設(shè)小球能到達(dá)C點(diǎn)．由靜止運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}$mv_C$_c^2$
解得：v_c=$\sqrt{gR}$
若小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力F_N應(yīng)滿足F_N≥0
小球在C點(diǎn)有：F_N+mg=m$\frac{v^2}{{\frac{R}{2}}}$
解能夠通過C點(diǎn)的條件為：v′_C≥$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
因 v_c＞v′_C，則知小球可以運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)
小球由C點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
  Rsinθ=v₀t
  Rcosθ=$\frac{1}{2}$gt²
解得：cosθ=$\sqrt{2}$-1
所以從C點(diǎn)拋出后到AB弧上的落點(diǎn)與B點(diǎn)的豎直高度  h=R-Rcosθ=（2-$\sqrt{2}$）R
答：（1）小球在B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小是7mg．
（2）小球可以運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，從C點(diǎn)拋出后到AB弧上的落點(diǎn)與B點(diǎn)的豎直高度是（2-$\sqrt{2}$）R．

點(diǎn)評 本題要分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程，把握小球向心力的來源，關(guān)鍵要熟練運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，并能抓住隱含的幾何關(guān)系解題．