Question

11．如圖所示，有一個可視為質(zhì)點的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺上的A點以v₀=2m/s的初速度水平拋出，到達C點時，恰好沿C點的切線方向進入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點的質(zhì)量為M=3kg的長木板，已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，圓弧軌道的半徑為R=0.4m，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=60°，不計空氣阻力，g 取10m/s²．求：
（1）小物塊剛要到達C點時的速度的大小及與水平方向的夾角．
（2）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板的長度L至少多大？

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到C做平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本公式求解小球到達C點時的速度．
（2）小物塊由C到D的過程中，運用動能定理可求得物塊經(jīng)過D點時的速度．到達圓弧軌道末端D點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律列式，求出軌道對物塊的支持力，再由牛頓第三定律求出物塊對軌道的壓力．
（3）物塊滑上長木板后做勻減速運動，長木板做勻加速運動，小物塊恰好不滑出長木板時，物塊滑到長木板的最右端，兩者速度相等，根據(jù)動量守恒或牛頓運動定律、運動學公式結(jié)合和能量守恒求出此時木板的長度，即可得到木板的長度最小值．

解答 解：（1）小物塊在C點時的速度大小為：v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀=4m/s
方向與水平方向的夾角為60°．
（2）小物塊由C到D的過程中，由動能定理得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s，
小球在D點時由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=60N
由牛頓第三定律得：F_N′=F_N=60N，方向豎直向下．
（3）設(shè)小物塊剛滑到木板左端到達到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過程中，小物塊與長木板的加速度大小分別為：
a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=3m/s²，
a₂=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.3×1×10}{3}$=1m/s²  
速度分別為：v=v_D-a₁t，v=a₂t
解得：v=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s
對物塊和木板系統(tǒng)，由能量守恒定律得：
μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$（m+M）v²
解得：L=2.5 m，即木板的長度至少是2.5 m．
答：（1）小物塊到達C點時的速度為4m/s，方向與水平方向的夾角為60°．
（2）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力為60N；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板的長度L至少為2.5m．

點評 解決此題的關(guān)鍵要理清小物塊的運動情況，掌握平拋運動的研究方法：運動分解法．知道能量守恒定律是求相對位移常用的方法．