Question

20．如圖所示，在區(qū)域足夠大的空間中充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其方向垂直于紙面向里．在紙面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形框架DEF，DE中點(diǎn)S處有一粒子發(fā)射源，發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于DE邊向下，如圖（a）所示．發(fā)射粒子的電量為+q，質(zhì)量為m，但速度v有各種不同的數(shù)值．若這些粒子與三角形框架碰撞時(shí)均無(wú)能量損失，且每一次碰撞時(shí)速度方向垂直于被碰的邊．試求：

（1）帶電粒子的速度v為多大時(shí)，能夠打到E點(diǎn)？
（2）為使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，v應(yīng)為多大？最短時(shí)間為多少？
（3）若磁場(chǎng)是半徑為a的圓柱形區(qū)域，如圖（b）所示（圖中圓為其橫截面），圓柱的軸線通過(guò)等邊三角形的中心O，且a=$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{1}{10}）$L．要使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，帶電粒子速度v的大小應(yīng)取哪些數(shù)值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系得出半徑與SE的關(guān)系，從而求出粒子的速度；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與速度無(wú)關(guān)，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最小時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，可知當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于$\frac{L}{2}$時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，結(jié)合圓心角求出運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間，結(jié)合半徑公式求出速度的大��；
（3）S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)必須滿足（2）的條件．要求此粒子每次與△DEF的三條邊碰撞時(shí)都與邊垂直，且能回到S點(diǎn)；粒子能繞過(guò)頂點(diǎn)與△DEF的邊相碰，根據(jù)半徑公式和幾何關(guān)系求出粒子的速度

解答 解：（1）從S點(diǎn)發(fā)射的粒子將在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，即：$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$    ①
因粒子圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在DE上，每經(jīng)過(guò)半個(gè)園周打到DE上一次，
所以粒子要打到E點(diǎn)應(yīng)滿足：$\frac{1}{2}L=n•2R，（{\;}\right.n=1，2，3…\left.{\;}）$②
由①②得打到E點(diǎn)的速度為：$v=\frac{qBL}{4nm}$，（n=1，2，3…）；
（2）由題意知，S點(diǎn)發(fā)射的粒子最終又回到S點(diǎn)的條件是：
$R=\frac{\bar S\bar E}{2n-1}=\frac{L}{2}\frac{1}{2n-1}，（n=1，2，3…）$，粒子速度：v=$\frac{qBL}{2（2n-1）m}$ （n=1、2、3…），
在磁場(chǎng)中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，與粒子速度無(wú)關(guān)，
所以，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)最少（n=1）時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，這時(shí)：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{L}{2}$時(shí)時(shí)間最短，
粒子以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心運(yùn)動(dòng)，每次碰撞所需時(shí)間：${t_1}=\frac{5}{6}T$
經(jīng)過(guò)三次碰撞回到S點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間：$t=3{t_1}=\frac{5}{2}T=\frac{5πm}{qB}$
（3）設(shè)E點(diǎn)到磁場(chǎng)區(qū)域邊界的距離為L(zhǎng)'，由題設(shè)條件知$L'=a-\frac{L}{2}\frac{1}{{cos{{30}^0}}}=\frac{L}{10}$
S點(diǎn)發(fā)射的粒子要回到S點(diǎn)就必須在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即滿足條件：R≤L'，即$R≤\frac{L}{10}$
又知$R=\frac{\bar S\bar E}{2n-1}=\frac{L}{2}\frac{1}{2n-1}，（n=1，2，3…）$，當(dāng)n=1時(shí)，$R=\frac{L}{2}$
當(dāng)n=2時(shí)，$R=\frac{L}{6}$當(dāng)n=3時(shí)，$R=\frac{L}{10}$當(dāng)n=4時(shí)，$R=\frac{L}{14}$
所以，當(dāng)n=3，4，5…時(shí)，滿足題意．由于$R=\frac{mv}{qB}$，代入上式得$\frac{L}{2}\frac{1}{2n-1}=\frac{mv}{qB}$
解得速度的值：$v=\frac{qBL}{2（2n-1）m}$，（n=3，4，5…）
答：（1）帶電粒子的速度v為$\frac{qBL}{4nm}$  （n=1、2、3、…）時(shí)，能夠打到E點(diǎn)．
（2）為使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，v為$\frac{qBL}{2（2n-1）m}$（n=1、2、3…），最短時(shí)間為$\frac{5πm}{qB}$．
（3）帶電粒子速度v的大小取值為：$\frac{qBL}{2（2n-1）m}$  （n=3、4、5…）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵得出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑通項(xiàng)表達(dá)式，確定半徑為何值時(shí)恰好打在E點(diǎn)，何時(shí)能夠回到S點(diǎn)，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解．注意結(jié)合幾何特性及半徑與長(zhǎng)度的關(guān)系，從而確定運(yùn)動(dòng)軌跡，這是解題的關(guān)鍵．