Question

14．如圖所示，AC和BC兩輕繩共同懸掛一質量為m的物體，若保持AC繩的方向不變，AC與豎直方向的夾角為60°，改變BC繩的方向，試求：
（1）物體能達到平衡時，θ角的取值范圍．
（2）θ在0～90°的范圍內，求BC繩上拉力的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）物體要能達到平衡，兩繩的拉力的合力必須與重力平衡，方向豎直向上．當BC繩豎直時，AC繩拉力為零，物體可以平衡；當θ小于120°時，兩繩拉力的合力能與重力平衡．根據平衡條件確定出θ角的最小值和最大值，再求出θ的取值范圍．
（2）根據作圖法確定BC繩上拉力達到最大和最小的條件，再由平衡條件求解．

解答 解：（1）改變BC繩的方向時，AC繩的拉力TA方向不變，兩繩拉力的合力F與物體的重力平衡，重力大小和方向均保持不變，如圖所示，

經分析可知，θ最小為0°，此時T_A=0；且θ必須小于120°，否則兩繩的合力不可能豎直向上．所以θ角的取值范圍是0°≤θ＜120°．
（2）θ在0～90°的范圍內，由圖知，當θ=90°時，T_B最大，${T_B}=mgtan60°=\sqrt{3}mg$．
當兩繩垂直，即θ=30°時，TB最小，${T_B}=mgsin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mg$．
答：（1）物體能達到平衡時，θ角的取值范圍為0°≤θ＜120°；
（2）θ在0～90°的范圍內，BC繩上拉力的最大值和最小值分別${T_{max}}=\sqrt{3}mg；{T_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mg$．

點評 本題關鍵是通過作圖法確定極值條件，也可以記住BC拉力最小的條件：當一個分力方向一定，兩個力的合力一定，則當另一個分力與這個分力垂直時有最小值．