Question

20．如圖所示，一個半徑R=1.0m的圓弧形光滑軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個端點B和圓心O的連線與豎直方向夾角θ=60°，C為軌道最低點，D為軌道最高點．一個質(zhì)量m=0.50kg的小球（視為質(zhì)點）從空中A點以v₀=4.0m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道．重力加速度g取10m/s²．試求：
（1）小球拋出點A距圓弧軌道B端的高度h．
（2）小球經(jīng)過軌道最低點C時對軌道的壓力F_C．
（3）若將該軌道換為光滑的圓管軌道，經(jīng)過軌道最高點D時對軌道的壓力F_D．

Answer 1

分析 （1）小球從A運動到B做平拋運動，據(jù)小球恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道，說明小球的末速度應(yīng)該沿著B點的切線方向，由圓的半徑和角度的關(guān)系，可以求出B點切線的方向，即平拋末速度的方向，從而可以求得豎直方向分速度，對豎直方向，運用運動學(xué)公式求h．
（2）根據(jù)機械能守恒定律求得小球通過C點的速度．在C點，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得軌道對小球的支持力，從而得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）從C到D，根據(jù)機械能守恒定律求得小球通過D點的速度．在D點，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓定律求解即可．

解答 解：（1）小球恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道，說明小球的末速度應(yīng)該沿著B點切線方向，將平拋末速度進行分解，根據(jù)幾何關(guān)系，B點速度在豎直方向的分量為：
v_y=v₀tan60°=4$\sqrt{3}$m/s     
豎直方向的分運動為自由落體運動，則有：
h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{（4\sqrt{3}）^{2}}{20}$=2.4m                    
（2）從A到C的過程，根據(jù)機械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mg（h+R-Rcosθ）
代入數(shù)據(jù)得：v_C²=74m²/s²     
在C點，根據(jù)牛頓第二定律，有：
F′_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F'_C=42N
根據(jù)牛頓第三定律得，小球經(jīng)過軌道最低點C時對軌道的壓力為 F_C=F'_C=42N，方向豎直向下．
（3）從C到D的過程，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點，設(shè)軌道對小球的作用力方向豎直向下，大小為F．由牛頓第二定律得：
mg+F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：F=12N＞0
說明在D點，軌道對小球的作用力方向豎直向下，由牛頓第三定律知，經(jīng)過軌道最高點D時對軌道的壓力F_D大小為12N，方向豎直向上．
答：（1）小球拋出點A距圓弧軌道B端的高度是2.4m．
（2）小球經(jīng)過軌道最低點C時對軌道的壓力是42N，方向豎直向下．
（3）經(jīng)過軌道最高點D時對軌道的壓力F_D大小為12N，方向豎直向上．

點評 恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點進入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的突然口，理解了這句話就可以求得小球的末速度，運用平拋運動的規(guī)律、圓周運動的知識和機械能守恒解決．要知道圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力．