Question

15．如圖所示，傾角為45°的粗糙斜面AB底端與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BC平滑相接，O為軌道圓心，BC為圓軌道直徑且處于豎直平面內(nèi)，A、C兩點(diǎn)等高．質(zhì)量m=1kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開始下滑，恰能滑到與O等高的D點(diǎn)，g取10m/s²． 
（1）求斜面AB的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）若改變起始滑塊的釋放高度，某次滑塊通過圓弧BDC離開C處后恰能垂直打在斜面上，求滑塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）若要求滑塊在圓弧BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度H應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）滑塊從A到D過程，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2）滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，可求出滑塊對(duì)軌道的壓力；
（3）從A到D的過程中根據(jù)動(dòng)能定理求得摩擦因數(shù)，物體能到達(dá)C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求得C點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求得高度；物體不脫離軌道，即在軌道上能通過最高點(diǎn)和剛好到達(dá)D點(diǎn)即，然后分析答題．

解答 解：（1）A到D過程，由動(dòng)能定理得：
mg（2R-R）-μmgcos45°×$\frac{2R}{sin45°}$=0-0，解得：μ=0.5；
（2）離開C點(diǎn)后滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，垂直打在斜面上時(shí)有
水平位移：x=v_Ct
豎直位移：y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
速度關(guān)系：tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{C}}$，
位移關(guān)系：tan45°=$\frac{2R-y}{x}$，
解得：v_C=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$m/s，
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得：F=3.3N，
由牛頓第三定律可知，滑塊對(duì)軌道的壓力：F'=F=3.3N，方向：豎直向上；
（3）若滑塊恰能到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{v{′}_{C}^{2}}{R}$，解得：v_C′=2m/s，
從高為H的最高點(diǎn)到C的過程，
由動(dòng)能定理得：mg（H-2R）-μmgcos45°×$\frac{H}{sin45°}$=$\frac{1}{2}$mv_C′²-0，解得：H=2m  
由題意可知，滑塊從A處，即距地面高度為2R=0.8m處下滑恰好到達(dá)D點(diǎn)，
所以，若使滑塊在圓弧在BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度H≥2m或H≤0.8m；
答：（1）斜面AB的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.5；
（2）滑塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為3.3N，方向：豎直向上；
（3）若要求滑塊在圓弧BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度H應(yīng)該滿足的條件是：H≥2m或H≤0.8m．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理與向心力、平拋運(yùn)動(dòng)及幾何知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要注意挖掘隱含的臨界條件，知道小球通過豎直平面圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，重力恰好提供向心力，對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行求解．