Question

10．如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的軌道由硬桿制成，其中水平軌道BC和EF的長(zhǎng)度均為2R、AB、FG部分的傾角均為θ=30°，CDE部分是半徑為R的半圓軌道，B、C、E、F四點(diǎn)共線且各部分均平滑連接，將一質(zhì)量為m的圓環(huán)套在軌道上從A點(diǎn)由靜止釋放，已知AB=6R，小環(huán)與BC和EF間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.1，軌道其他部分均光滑，重力加速度為g，求：
（1）小環(huán)從釋放至第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間；
（2）小環(huán)第一次向右通過半圓軌道的最高點(diǎn)D時(shí)，對(duì)軌道的作用力；
（3）小環(huán)通過最高點(diǎn)D的次數(shù)及其最終停在軌道上的位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小環(huán)下滑的加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式求出小環(huán)從釋放至第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出最高點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出作用力的大�。�
（3）對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出在水平軌道上的運(yùn)動(dòng)路程，從而得出小環(huán)通過最高點(diǎn)D的次數(shù)，從而確定停在軌道上的位置．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，小環(huán)沿AB下滑的加速度a=$\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ=\frac{1}{2}g$，
根據(jù)$6R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，小環(huán)從釋放第一次到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間t=$\sqrt{\frac{12R}{a}}=\sqrt{\frac{24R}{g}}$．
（2）對(duì)A到D段運(yùn)用動(dòng)能定理得，$mg（6Rsinθ-R）-μmg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-0$，
在最高點(diǎn)D，根據(jù)牛頓第二定律得，mg+F=$m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
解得F=2.6mg．
（3）對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理得，mg•6Rsinθ-μmgs=0，
解得s=30R．
n=$\frac{s}{4R}$=7.5，可知小環(huán)通過最高點(diǎn)D的次數(shù)為 7次，最后停在E處．
答：（1）小環(huán)從釋放至第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為$\sqrt{\frac{24R}{g}}$；
（2）小環(huán)第一次向右通過半圓軌道的最高點(diǎn)D時(shí)，對(duì)軌道的作用力為2.6mg；
（3）小環(huán)通過最高點(diǎn)D的次數(shù)為7次，其最終停在軌道上的位置為E處．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，知道最高點(diǎn)向心力的來源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度不大．