Question

6．如圖所示，AC為光滑的水平桌面，輕彈簧的一端固定在A端的豎直墻壁上．質(zhì)量m=1kg的小物塊將彈簧的另一端壓縮到B點(diǎn)，之后由靜止釋放，離開(kāi)彈簧后從C點(diǎn)水平飛出，恰好從D點(diǎn)以v_D=$\sqrt{10}$m/s的速度沿切線方向進(jìn)入豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道DEF（小物體與軌道間無(wú)碰撞）．O為圓弧軌道的圓心，E為圓弧軌道的最低點(diǎn)，圓弧軌道的半徑R=1m，∠DOE=60°，∠EOF=37°．小物塊運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)后，沖上足夠長(zhǎng)的斜面FG，斜面FG與圓軌道相切于F點(diǎn)，小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．不計(jì)空氣阻力．求：
（1）彈簧最初具有的彈性勢(shì)能；
（2）小物塊第一次到達(dá)圓弧軌道的E點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力大��；
（3）判斷小物塊沿斜面FG第一次返回圓弧軌道后能否回到圓弧軌道的D點(diǎn)？若能，求解小物塊回到D點(diǎn)的速度；若不能，求解經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后小物塊通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）物塊離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由D點(diǎn)沿圓軌道切線方向進(jìn)入圓軌道，知道了到達(dá)D點(diǎn)的速度方向，將D點(diǎn)的速度分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，即離開(kāi)C點(diǎn)時(shí)的速度v_C．再研究彈簧釋放的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律求彈簧最初具有的彈性勢(shì)能；
（2）物塊從D到E，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出通過(guò)E點(diǎn)的速度．在E點(diǎn)，由牛頓定律和向心力知識(shí)結(jié)合求物塊對(duì)軌道的壓力．
（3）假設(shè)物塊能回到D點(diǎn)，對(duì)物塊從A到返回D點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出D點(diǎn)的速度，再作出判斷．最后由機(jī)械能守恒定律求出最低點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）設(shè)小物塊在C點(diǎn)的速度為v_C，則在D點(diǎn)有：v_C=v_Dcos60°
設(shè)彈簧最初具有的彈性勢(shì)能為E_p，則：E_P=$\frac{1}{2}$mv_C²
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：E_p=1.25J                                
（2）設(shè)小物塊在E點(diǎn)的速度為v_E，則從D到E的過(guò)程中有：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_E²-$\frac{1}{2}$mv_D²
設(shè)在E點(diǎn)，圓軌道對(duì)小物塊的支持力為N，則有：N-mg=$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$                            
代入數(shù)據(jù)解得：v_E=2$\sqrt{5}$m/s，N=30N
由牛頓第三定律可知，小物塊到達(dá)圓軌道的E點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力為30 N．  
（3）設(shè)小物體沿斜面FG上滑的最大距離為x，從E到最大距離的過(guò)程中有：
-mgR（1-cos37°）-（mgsin37°+μmgcos37°）x=0-$\frac{1}{2}$mv_E²      
小物體第一次沿斜面上滑并返回F的過(guò)程克服摩擦力做的功為W_f，則
W_f=2xμmgcos37°                          
小物體在D點(diǎn)的動(dòng)能為E_KD，則：E_KD=$\frac{1}{2}$mv_D²                           
代入數(shù)據(jù)解得：x=0.8m，W_f=6.4J，E_KD=5J
因?yàn)镋_KD＜W_f，故小物體不能返回D點(diǎn)．                                
小物體最終將在F點(diǎn)與關(guān)于過(guò)圓軌道圓心的豎直線對(duì)稱的點(diǎn)之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，小物體的機(jī)械能守恒，設(shè)最終在最低點(diǎn)的速度為v_Em，則有：
mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}$mv_Em²                       
代入數(shù)據(jù)解得：v_Em=2 m/s                                
答：（1）彈簧最初具有的彈性勢(shì)能為1.25J；
（2）小物塊第一次到達(dá)圓弧軌道的E點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力大小是30 N；
（3）小物塊沿斜面FG第一次返回圓弧軌道后不能回到圓弧軌道的D點(diǎn)．經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后小物塊通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E的速度大小為2 m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是多過(guò)程問(wèn)題，要按時(shí)間順序分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律，在涉及力在空間的效果時(shí)，運(yùn)用動(dòng)能定理求速度是常用的方法．平拋運(yùn)動(dòng)常常根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解法研究．