Question

在科學(xué)研究中，可以通過施加適當(dāng)?shù)碾妶龊痛艌鰜韺?shí)現(xiàn)對帶電粒子運(yùn)動的控制。如圖所示的xOy平面處于勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中，電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間t做周期性變化的圖象如圖所示。x 軸正方向?yàn)?i>E的正方向，垂直紙面向里為B的正方向。在坐標(biāo)原點(diǎn)O有一粒子P，其質(zhì)量和電荷量分別為m和+q.不計重力。在t=時刻釋放P，它恰能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動。

（1）求P在磁場中運(yùn)動時速度的大小v₀；
（2）求B₀應(yīng)滿足的關(guān)系；
（3）在t₀（0＜t₀＜）時刻釋放P，求P速度為零時的坐標(biāo)。

Answer 1

（1） （2），（n=1，2，3……）
（3）.

（1）對比題圖可知：隨著時間的變化，電場和磁場是交替產(chǎn)生的，有磁場前，粒子受到恒定的電場力，做勻加速直線運(yùn)動。由勻變速直線運(yùn)動的速度公式v=at即可求解，要注意粒子從t=才開始運(yùn)動。（2）要求B₀應(yīng)滿足的關(guān)系，首先需抓住題中的關(guān)鍵語：“恰能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動”，從而實(shí)現(xiàn)對本題解答的切入，然后分析粒子會做τ時間的勻速圓周運(yùn)動，要想往復(fù)，則2τ時刻粒子的速度方向正好沿x軸負(fù)方向。要注意粒子做圓周運(yùn)動的重復(fù)性，洛倫茲力提供向心力等。（3）從t₀滿足0＜t＜時刻釋放，粒子將會在電場力的作用下勻加速τ-t₀的時間，并以速度進(jìn)入磁場，在根據(jù)對稱性，找到速度為零的時刻，再根據(jù)數(shù)學(xué)的知識找到其坐標(biāo)即可。
解：（1）～τ時間段內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動，τ～2τ時間段內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動
電場力F=qE₀，加速度a=，速度v₀=at，其中t=，解得v₀=.
（2）只有當(dāng)t=2τ時，P在磁場中做圓周運(yùn)動結(jié)束并開始沿x軸負(fù)方向運(yùn)動，才能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動，如圖所示。

設(shè)P在磁場中做圓周運(yùn)動的周期為T，則，（n=1，2，3……）
勻速圓周運(yùn)動 ，
解得，（n=1，2，3……）
（3）在t₀時刻釋放，P在電場中加速時間為τ-t₀，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，
圓周運(yùn)動的半徑，解得
又經(jīng)τ-t₀時間P減速為零后向右加速時間為t₀，P再進(jìn)入磁場，圓周運(yùn)動的半徑，解得
綜上分析，速度為零時橫坐標(biāo)x=0，相應(yīng)的縱坐標(biāo)為
y=或2k（r₁-r₂），（k=1，2，3……）
解得y=或，（k=1，2，3……）
【考點(diǎn)定位】本題考查帶電粒子在復(fù)合磁場和電場中的運(yùn)動問題。重在考查學(xué)生的對運(yùn)動過程的分析、對圖像的觀察與分析以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。難度較大。