Question

【題目】有一傾角θ=37°的硬桿，其上套有一下端固定于O點(diǎn)，勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧，彈簧的自由端位于硬桿上的Q處．硬桿OQ部分光滑，PQ部分粗糙，彈簧與桿間無(wú)摩擦．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球套在此硬桿上，從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下，已知小球與硬桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，PQ間的距離為L(zhǎng)=0.91m．彈簧的彈性勢(shì)能與其形變量x的關(guān)系為Ep= kx2 ， 不計(jì)空氣的阻力做功及小球與彈簧碰撞時(shí)的能量損失．（已知g=10m/s2 ， sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ）．求：

（1）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中達(dá)到最大速度時(shí)彈簧的形變量是多少；
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所能達(dá)到的最大速度vm；
（3）經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間后，系統(tǒng)能夠處于穩(wěn)定狀態(tài)．試對(duì)這一穩(wěn)定狀態(tài)作簡(jiǎn)單描述．并求出整個(gè)過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的熱能．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)小球從P點(diǎn)無(wú)初速滑下時(shí)，彈簧被壓縮至x處時(shí)小球的加速度為零，速度有最大值，因?yàn)橛矖UOQ部分光滑，則有：

mgsinθ=kx代入數(shù)據(jù)得：x=0.06m

（2）

解：小球由P點(diǎn)無(wú)初速滑下至彈簧被壓縮至x=0.06m處的過(guò)程中，對(duì)小球運(yùn)用功能關(guān)系，有：

mgsinθ（l+x）﹣μmgcosθl﹣W彈=

又 W彈= kx2

即：mgsinθ（l+x）﹣μmgcosθl﹣ kx2=

代入數(shù)據(jù)得：vm=2m/s

（3）

解：經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間后，小球?qū)⒃赒點(diǎn)以下做來(lái)回往復(fù)式運(yùn)動(dòng)，小球的機(jī)械能與彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，整個(gè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)．在不計(jì)空氣的阻力做功及小球與彈簧碰撞時(shí)的能量損失的情況下，全過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能減小量即為整個(gè)過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的熱能． 有：Q=mglsinθ=5.46J

【解析】（1）當(dāng)加速度為零時(shí)小球的速度最大，由平衡條件和胡克定律結(jié)合求彈簧的形變量．（2）小球由P點(diǎn)無(wú)初速滑下至彈簧被壓縮至最大的過(guò)程中，對(duì)小球運(yùn)用功能關(guān)系列式，可求得最大速度vm ． （3）經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間后，小球?qū)⒃赒點(diǎn)以下做來(lái)回往復(fù)式運(yùn)動(dòng)，小球的機(jī)械能與彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，整個(gè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)．根據(jù)能量守恒求．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了功能關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握當(dāng)只有重力（或彈簧彈力）做功時(shí)，物體的機(jī)械能守恒；重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動(dòng)能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對(duì)物體所做的功等于物體機(jī)械能的變化:W F =E 2 -E 1才能正確解答此題．