已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,且與拋物線有共同的焦點(diǎn),橢圓C的左頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線AP,BP與直線y=3分別交于G,H兩點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求線段GH的長(zhǎng)度的最小值;
(Ⅲ)在線段GH的長(zhǎng)度取得最小值時(shí),橢圓C上是否存在一點(diǎn)T,使得△TPA的面積為1,若存在求出點(diǎn)T的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(I)由橢圓和拋物線有共同的焦點(diǎn),求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)a2=b2+c2,即可求得橢圓C的方程;
(Ⅱ)根據(jù)(I)寫(xiě)出點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P和直線AP,BP的方程,并且與直線y=3分聯(lián)立,求出G,H兩點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,根據(jù)求函數(shù)的最值方法可求;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當(dāng)GH的長(zhǎng)度取最小值時(shí),可求直線AP的方程及點(diǎn)P,若橢圓C上存在點(diǎn)T,使得△TPA的面積等于1,則點(diǎn)T到直線AP的距離是定值,利用點(diǎn)到直線的距離公式可解.
解答:解:(I)由已知得,拋物線的焦點(diǎn)為,則,又b=1.
由a2-b2=c2,可得a2=4.
故橢圓C的方程為
(Ⅱ)直線AP的斜率k顯然存在,且k>0,故可設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2),從而
得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
設(shè)P(x1,y1),則.所以,從而
,又B(2,0),
則直線PB的斜率為

所以H(-12k+2,3).

又k>0,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)時(shí),線段GH的長(zhǎng)度取最小值8.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當(dāng)GH的長(zhǎng)度取最小值時(shí),
則直線AP的方程為x-2y+2=0,此時(shí)P(0,1),
若橢圓C上存在點(diǎn)T,使得△TPA的面積等于1,則點(diǎn)T到直線AP的距離等于
所以T在平行于AP且與AP距離等于的直線l上.
設(shè)直線
則由得x2+2tx+2t2-2=0.
△=4t2-8(t2-1)≥0.即t2≤2.
由平行線間的距離公式,得
解得t=0或t=2(舍去).
可求得
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)難題.本題考查了橢圓的定義、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,是一道綜合性的試題,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.其中問(wèn)題(III)是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題,考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,
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已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2
3
,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-1,0)和(1,0).
(1)求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如果直線y=x+m與這個(gè)橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,求m的取值范圍;
(3)若(2)中m=1,求該直線與此橢圓相交所得弦長(zhǎng)|AB|的值.

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