已知橢圓的短軸長為2,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-1,0)和(1,0).
(1)求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如果直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,求m的取值范圍;
(3)若(2)中m=1,求該直線與此橢圓相交所得弦長|AB|的值.
【答案】分析:(1)先由題分析出橢圓的焦點(diǎn)在x軸上且2b=2,c=1,求出a,b即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,整理為關(guān)于的一元二次方程;再結(jié)合直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點(diǎn)知道對應(yīng)的方程有兩個不等實(shí)根,判別式大于0即可求出m的取值范圍;
(3)求出A,B的坐標(biāo),即可求得弦長|AB|.
解答:解:(1)由題得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上且2b=2,c=1
∴b=,a2=b2+c2=4.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)直線y=x+m代入橢圓方程,消去y整理得:7x2+8mx+4m2-12=0.
∵直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點(diǎn)
∴△=(8m)2-4×7×(4m2-12)>0
∴m2<7,∴-;
(3)m=1時,7x2+8mx+4m2-12=0可化為7x2+8x-8=0
∴x=
∴y=
∴|AB|==
點(diǎn)評:本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的短軸長為2
3
,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-1,0)和(1,0).
(1)求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如果直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,求m的取值范圍;
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3
,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-1,0)和(1,0),
(1)求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
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已知橢圓的短軸長為2,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-1,0)和(1,0),
(1)求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如果直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點(diǎn),求m的取值范圍.

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已知橢圓的短軸長為2,且與拋物線有共同的焦點(diǎn),橢圓C的左頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動點(diǎn),直線AP,BP與直線y=3分別交于G,H兩點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求線段GH的長度的最小值;
(Ⅲ)在線段GH的長度取得最小值時,橢圓C上是否存在一點(diǎn)T,使得△TPA的面積為1,若存在求出點(diǎn)T的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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