Question

17．已知函數(shù)φ（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）討論φ（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）=φ（x）-$\frac{1}{2}$x³，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）φ′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，（x＞0），
a≤0時(shí)，φ′（x）＞0恒成立，
則φ（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時(shí)，令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
則φ（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，
令φ′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
則φ（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
（2）x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立，則lnx-ax-$\frac{1}{2}$x³＜0，
即a＞$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²（x＞0），
g′（x）=$\frac{1-lnx{-x}^{3}}{{x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=1-lnx-x³（x＞0），
h′（x）=-$\frac{1}{x}$-3x²＜0，
故h（x）在（0，+∞）遞減，
又h（1）=0，則0＜x＜1時(shí)，h（x）＞0，g′（x）＞0，
x＞1時(shí)，h（x）＜0，g′（x）＜0，
故g（x）_max=g（1）=-$\frac{1}{2}$，
故a＞-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．