Question

【題目】已知函數(shù)h（x）=ax3﹣1（a∈R），g（x）=lnx，f（x）=h（x）+3xg（x）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）若f（x）圖象過點（1，﹣1），求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若f（x）在區(qū)間（ ，e）上有且只有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（III）函數(shù)F（x）=（a﹣ ）x3+ x2g（a）﹣h（x）﹣1，當a＞e 時，函數(shù)F（x）過點A（1，m）的切線至少有2條，求實數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知f（x）=h（x）+3xg（x）=ax3﹣1+3xlnx，
又f（x）過點（1，﹣1），所以a=0，
∴f（x）=3xlnx﹣1，且定義域為（0，+∞），
f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
故f（x）=3xlnx﹣1在（0， ）上是減函數(shù)，在（ ，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定義域為（0，+∞），
f′（x）=3（ax2+lnx+1），
令r（x）=ax2+lnx+1，
則r′（x）=2ax+ = ，
當a＞0時，r′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故f′（x）=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f′（ ）= ＞0，
故當x∈（ ，e）時，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在區(qū)間（ ，e）上單調(diào)遞增，
故f（x）在區(qū)間（ ，e）上沒有極值點；
當a=0時，由（Ⅰ）知，f（x）在區(qū)間（ ，e）上沒有極值點；
當a＜0時，令 =0，解得，x= ；
故r（x）=ax2+lnx+1在（0， ）上是增函數(shù)，在（ ，+∞）上是減函數(shù)，
①當r（e）r（ ）＜0，即﹣ ＜a＜0時，
r（x）在（ ，e）上有且只有一個零點，且在該零點兩側(cè)異號，
②令r（ ）=0，得 =0，不成立；
③令r（e）=0，得a=﹣ ，所以 ∈（ ，e），
而r（ ）=r（ ）= +ln ＞0，又r（ ）＜0，
所以r（x）在（ ，e）上有且只有一個零點，且在該零點兩側(cè)異號，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[﹣ ，0）．
（Ⅲ）函數(shù)F（x）=（a﹣ ）x3+ x2g（a）﹣h（x）﹣1，
由函數(shù)F（x）過點A（1，m）的切線，
所以m= x03﹣（1+ lna）x02+x0lna，（*）
②據(jù)題意，原命題等價于關于x0的方程（*）至少有2個不同的解．
設φ（x）= x3﹣（1+ lna）x2+xlna，
φ′（x）=2x2﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），
因為a＞ ，所以 lna＞ ＞1，
當x∈（﹣∞，1）和（ lna，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)；
當x∈（1， lna）時，φ′（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)；
所以φ（x）的極大值為φ（1）= lna﹣ ，
φ（x）的極小值為φ（ lna）=﹣ ln3a+ ln2a，
設lna=t，t＞ ，
則原命題等價于 對t＞ 恒成立，
所以由m≤ t﹣ 對t＞ 恒成立，得m≤ ； （1）
記s（t）=﹣ t3+ t2 ， s′（t）=﹣ t2+ t= t（1﹣ t），
所以t＞ 時，s（t）的最大值為s（4）= ，由m≥﹣ t3+ t2對t＞ 恒成立，得m≥ ． （2）
由（1）（2）得，m= ．
綜上，當a＞ ，實數(shù)m的值為 時，函數(shù)F（x）過點A（1，m）的切線至少有2條
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合已知條件求出a的范圍即可；（Ⅲ）求出函數(shù)的導數(shù)，求出B處的切線方程，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．