Question

20．已知F為拋物線C：y²=5x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（3，1），M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|MA|+|MF|取最小值$\frac{17}{4}$時(shí)，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{1}{5}$，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義，將|MA|+|MF|轉(zhuǎn)化成|MA|+|PM|．由平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|PM|有最小值．由此即可得到|MA|+|MF|取最小值，進(jìn)而得到相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：由題意y²=5x得 F（$\frac{5}{4}$，0），準(zhǔn)線方程為 x=-$\frac{5}{4}$，點(diǎn)A（3，1），P（-$\frac{5}{4}$，1）
設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，
則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=3-（-$\frac{5}{4}$）=$\frac{17}{4}$，
再將y=1代入拋物線y²=5x 得 x=$\frac{1}{5}$，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是：（$\frac{1}{5}$，1）．
故答案為：$\frac{17}{4}$，（$\frac{1}{5}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義和性質(zhì)得應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答的關(guān)鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．