【題目】如圖,五邊形中,四邊形為長(zhǎng)方形,為邊長(zhǎng)為的正三角形,將沿折起,使得點(diǎn)在平面上的射影恰好在上.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),證明:平面平面；

（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對(duì)值.

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ).

【解析】

試題

（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，則，平面，，結(jié)合勾股定理可得，則平面，平面平面.

（Ⅱ）由幾何關(guān)系，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面的法向量，平面的法向量.計(jì)算可得平面與平面所成二面角的余弦值的絕對(duì)值為.

試題解析：

（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，，

又，平面，

利用勾股定理得，同理可得.

在中，

平面，又平面，

所以平面平面

（Ⅱ）連結(jié)，，，

，又四邊形為長(zhǎng)方形，.

取中點(diǎn)為，得∥，連結(jié)，

其中，，

由以上證明可知互相垂直，不妨以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，

，

設(shè)是平面的法向量，

則有即，

令得

設(shè)是平面的法向量，

則有即

令得.

則

所以平面與平面所成二面角的余弦值的絕對(duì)值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知空間幾何體中，與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）試在平面內(nèi)作一條直線(xiàn)，使直線(xiàn)上任意一點(diǎn)與的連線(xiàn)均與平面平行，并給出詳細(xì)證明；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

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（1）求的表達(dá)式；

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，并求出的表達(dá)式

（3）求的值，并說(shuō)明的幾何意義.

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（2）如果存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)分別為、，當(dāng)的值在區(qū)間中變化時(shí)，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，以為焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)且開(kāi)口方向向左的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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