Question

【題目】已知f（x）為定義在R上的偶函數，當x≤﹣1時，f（x）=x+b，且f（x）的圖象經過點（﹣2，0），在y=f（x）的圖象中有一部分是頂點為（0，2），過點（﹣1，1）的一段拋物線．
（1）試求出f（x）的表達式；
（2）求出f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x≤﹣1時，f（x）=x+b，且f（x）的圖象經過點（﹣2，0），

則b﹣2=0，解得：b=2，即f（x）=x+2；

由于f（x）為定義在R上的偶函數，當x≥1時，f（x）=f（﹣x）=﹣x+2；

y=f（x）的圖象中有一部分是頂點為（0，2），過點（﹣1，1）的一段拋物線．

設y=ax2+2，過點（﹣1，1），則a+2=﹣1，解得：y=﹣x2+2，

可見當﹣1＜x＜1時，f（x）=﹣x2+2；

則f（x）=

（2）解：當x≤﹣1時，f（x）=x+2≤1；

當﹣1＜x＜1時，f（x）=﹣x2+2∈（1，2]；

當x≥1時，f（x）=﹣x+2≤1；

函數的值域為（﹣∞，2]

【解析】(1)由待定系數法可求出當x≤﹣1時函數的解析式，再根據函數的奇偶性得出當x≥1時，f（x）=f（﹣x）=﹣x+2，由題意可知根據二次函數圖像的性質可求出﹣1＜x＜1時的函數解析式，進而得到在不同的區(qū)間上的f（x）的解析式。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．