【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設為原點，過原點的直線（不與軸垂直）與橢圓交于、兩點，直線、與軸分別交于點、.問：軸上是否存在定點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，點的坐標為.

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的離心率結合，求出，得到橢圓方程；

（Ⅱ）設，由題意及橢圓的對稱性可知，求出、的方程，求出、的坐標，假設存在定點使得，得到，求出，即可說明存在點坐標為滿足條件.

（Ⅰ）由題意得，解得，所以，橢圓的方程為；

（Ⅱ）設，由題意及橢圓的對稱性可知，

則直線的方程為，直線的方程為，

則點坐標為，點坐標為.

假設存在定點使得，

即（也可以轉化為斜率來求），

即，即，即，所以，

所以存在點坐標為滿足條件.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正三棱柱中，，D，E，F分別為線段，，的中點.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了治理空氣污染，某市設個監(jiān)測站用于監(jiān)測空氣質量指數(shù)，其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設有、、個監(jiān)測站，并以個監(jiān)測站測得的的平均值為依據(jù)播報該市的空氣質量.

（1）若某日播報的為，已知輕度污染區(qū)平均值為，中度污染區(qū)平均值為，求重試污染區(qū)平均值；

（2）如圖是年月份天的的頻率分布直方圖，月份僅有天在內.

①某校參照官方公布的，如果周日小于就組織學生參加戶外活動，以統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求該校學生周日能參加戶外活動的概率；

②環(huán)衛(wèi)部門從月份不小于的數(shù)據(jù)中抽取兩天的數(shù)據(jù)進行研究，求抽取的這兩天中值都在的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直三棱柱中，，，點，，分別是棱，，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：直線平面．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調增區(qū)間；

（2）函數(shù)，當時，恒成立，求整數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的短軸長為2，離心率.過橢圓的右焦點作直線l（不與軸重合）與橢圓交于不同的兩點，.

（1）求橢圓的方程；

（2）試問在軸上是否存在定點，使得直線與直線恰好關于軸對稱?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，點為曲線上的動點，點在線段的延長線上且滿足點的軌跡為.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）設點的極坐標為，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，∥，，，，.

（1）求多面體的體積；

（2）已知是棱的中點，在棱是否存在點使得∥，若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下：

等級

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

a

24

b

（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）其他條件不變在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學期望.

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