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函數f（x）=
x
ax+b
（a，b是非零實常數），滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有且僅有一個解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在實常數m，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？為什么？
（3）在直角坐標系中，求定點A（-3，1）到此函數圖象上任意一點P的距離|AP|的最小值．
（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程
x
ax+b
=x的解，
所以
1
ax+b
=1無解或有解為0，（3分）
若無解，則ax+b=1無解，得a=0，矛盾，
若有解為0，則b=1，所以a=
1
2
． （6分）
（2）f（x）=
2x
x+2
，設存在常數m，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，
取x=0，則f（0）+f（m-0）=4，即
2m
m+2
=4，m=-4（必要性）（8分）
又m=-4時，f（x）+f（-4-x）=
2x
x+2
+
2(-4-x)
-4-x+2
=…=4成立（充分性） （10分）
所以存在常數m=-4，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）
（3）|AP|2=（x+3）2+（
x-2
x+2
）2，設x+2=t，t≠0，（13分）
則|AP|2=（t+1）2+（
t-4
t
）2=t2+2t+2-
8
t
+
16
t2
=（t2+
16
t2
）+2（t-
4
t
）+2=（t-
4
t
）2+2（t-
4
t
）+10
=（ t-
4
t
+1）2+9，（16分）
所以當t-
4
t
+1=0時即t=
-1±
17
2
，也就是x=
-5±
17
2
時，
|AP|min=3 （18分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
x
ax+b
（a、b為常數且a≠0）滿足f（2）=1且f（x）=x有唯一解．
（1）求f（x）的表達式；
（2）記xn=f（xn-1）（n∈N且n＞1），且x1=f（1），求數列{xn}的通項公式．
（3）記 yn=xn•xn+1，數列{yn}的前n項和為Sn，求證Sn＜
4
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a、b為常數，且a≠0，函數f（x）=
x
ax+b
，且f（3）=1，又方程f（x）=x有唯一解．
（I）求f（x）的解析式及方程f（x）=x的解；
（Ⅱ）當xn=f（xn-1）（n＞1），數列{
1
xn
}是何數列？請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
x
ax+b
（a，b為常數，a≠0），若f（1）=
1
3
，且f（x）=x只有一個實數根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數列{an}滿足關系式：an=f（an-1）（n∈N且n≥2），又a1=-
1
2005
，證明數列{
1
an
}是等差數列并求{an}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•嘉定區(qū)三模）已知函數f（x）=
x
ax+b
（a、b是非零實常數）滿足f（1）=
1
2
，且方程f（x）=x有且僅有一個實數解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐標系中，求定點A（0，2）到函數f（x）圖象上任意一點P（x，y）的距離|AP|的最小值．
（3）當x∈（
1
4
，
1
2
]時，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

解答下列問題：
（1）若f（x+1）=2x2+1，求f（x）；
（2）若2f（x）-f（-x）=x+1，求f（x）；
（3）若函數f（x）=
xax+b
，f（2）=1，且方程f（x）=x有唯一解，求f（x）．

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