已知函數(shù)f(x)=
x
ax+b
(a、b為常數(shù)且a≠0)滿(mǎn)足f(2)=1且f(x)=x有唯一解.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)記xn=f(xn-1)(n∈N且n>1),且x1=f(1),求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
(3)記 yn=xn•xn+1,數(shù)列{yn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證Sn
4
3
分析:(1)由ax2+(b-1)x=0有唯一解,知b=1,由f(2)=
2
ax2+1
=1
,知a=
1
2
,由此能求出f(x)的表達(dá)式.
(2)由xn=f(xn-1)=
xn-1
1
2
xn-1+1
,知
1
xn
=
1
xn-1
+
1
2
,由x1=f(1)=
2
3
,知
1
x1
=
3
2
,由此能求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
(3)由yn=xnxn+1=
2
n+2
×
2
n+3
=4(
1
n+2
-
1
n+3
)
,知Sn=y1+y2+y3+…+yn=x1x2+x2x3+…+xnxn+1=4[(
1
3
-
1
4
)+(
1
4
-
1
5
)+…+(
1
n+2
-
1
n+3
)],由此能證明Sn
4
3
解答:解:(1)由f(x)=
x
ax+b
=x
即ax2+(b-1)x=0有唯一解,∴b=1,
又f(2)=
2
ax2+1
=1
,∴a=
1
2

f(x)=
x
1
2
x+1
=
2x
x+2
,(4分)
(2)由xn=f(xn-1)=
xn-1
1
2
xn-1+1
,∴
1
xn
=
1
xn-1
+
1
2
,(6分)
x1=f(1)=
2
3
,∴
1
x1
=
3
2
,
∴數(shù)列{
1
xn
}是以首項(xiàng)為
3
2
,公差為
1
2
的等差數(shù)列(8分)
1
xn
=
3
2
+(n-1)×
1
2
=
n+2
2
,∴xn=
2
n+2
(10分)
(3)由yn=xnxn+1=
2
n+2
×
2
n+3
=4(
1
n+2
-
1
n+3
)
(12分)
∴Sn=y1+y2+y3+…+yn=x1x2+x2x3+…+xnxn+1
=4[(
1
3
-
1
4
)+(
1
4
-
1
5
)+…+(
1
n+2
-
1
n+3
)]
=4(
1
3
-
1
n+3
)<
4
3
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)公式的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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