【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),函數(shù)g(x)=loga(4﹣2x)(a>0,且a≠1).
(1)求函數(shù)y=f(x)﹣g(x)的定義域;
(2)求使函數(shù)y=f(x)﹣g(x)的值為正數(shù)的x的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意可知,函數(shù)f(x)=loga(x+1),函數(shù)g(x)=loga(4﹣2x)(a>0,且a≠1).
那么:函數(shù)y=f(x)﹣g(x)=loga(x+1)﹣loga(4﹣2x)
定義域滿足: ,
解得:﹣1<x<2.
∴函數(shù)y=f(x)﹣g(x)的定義域是(﹣1,2)
(2)解:函數(shù)y=f(x)﹣g(x)的值為正數(shù),即f(x)>g(x)
可得:loga(x+1)>loga(4﹣2x)
當a>1時,可得:x+1>4﹣2x,
解得:x>1.
又∵定義域:﹣1<x<2.
∴解集為(1,2)
當0<a<1時,可得:x+1<4﹣2x,
解得:x<1.
又∵定義域:﹣1<x<2.
∴解集為(﹣1,1)
綜上所述:當a>1時,x的取值范圍是(1,2);
當0<a<1時,x的取值范圍是(﹣1,1)
【解析】(1)根據(jù)對數(shù)的真數(shù)要大于0,寫出滿足函數(shù)有意義的不等式組求解即可.(2)將等式轉(zhuǎn)化為不等式問題求解.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域,掌握求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:①是整式時,定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1,零(負)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓過點,離心率為, , 是橢圓的長軸的兩個端點(位于右側(cè)),是橢圓在軸正半軸上的頂點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點和,使得向量與共線?如果存在,求出直線方程;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】命題p:函數(shù)y=log2(x2﹣2x)的單調(diào)增區(qū)間是[1,+∞),命題q:函數(shù)y=的值域為(0,1),下列命題是真命題的為( )
A.p∧q
B.p∨q
C.p∧(¬q)
D.¬q
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+e﹣x , 其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);
(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},從M到N有四種對應(yīng)如圖所示:
其中能表示為M到N的映射關(guān)系的有(請?zhí)顚懛蠗l件的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),.
(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線的方程;
(Ⅱ)如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);
(Ⅲ)如果對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0),且f(x)的最小正周期為π
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f( ﹣ )= ,f( ﹣ )= ,且α、β∈(﹣ ),求cos(α+β)的值.
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