Question

設(shè)a為非負實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)，并求出零點．（Ⅲ）當(dāng)-1≤x≤1時，|f'（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把a=2代入，利用絕對值的意義將函數(shù)化簡為分段函數(shù)，再對每一段利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對稱軸的關(guān)系求出每一段的單調(diào)區(qū)間，最后綜合即可求出整個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論a的正負，利用二次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極小值與0進行比較，進行分別判定函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f(x)=x|x-2|-2=

x2-2x-2，x≥2 -x2+2x-2，x＜2

，
①當(dāng)x≥2時，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＜2時，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（-∞，1）上單調(diào)遞增；
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）．
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|，函數(shù)y=f（x）的零點為x₀=0；（5分）
（2）當(dāng)a＞0時，f(x)=x|x-a|-a=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，（6分）
故當(dāng)x≥a時，f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a，二次函數(shù)對稱軸x=

a

2

＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，f（a）＜0；（7分）
當(dāng)x＜a時，f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-a，二次函數(shù)對稱軸x=

a

2

＜a，
∴f（x）在(

a

2

，a)上單調(diào)遞減，在(-∞，

a

2

)上單調(diào)遞增；（8分）
∴f（x）的極大值為f(

a

2

)=-(

a

2

)2+a×

a

2

-a=

a2

4

-a，1°當(dāng)f(

a

2

)＜0，即0＜a＜4時，函數(shù)f（x）與x軸只有唯一交點，即唯一零點，
由x²-ax-a=0解之得
函數(shù)y=f（x）的零點為x0=

a+ a2+4a

2

或x0=

a- a2+4a

2

（舍去）；
（10分）2°當(dāng)f(

a

2

)=0，即a=4時，函數(shù)f（x）與x軸有兩個交點，即兩個零點，分別為x₁=2
和x2=

a+ a2+4a

2

=2+2

2

；（11分）3°當(dāng)f(

a

2

)＞0，即a＞4時，函數(shù)f（x）與x軸有三個交點，即有三個零點，
由-x²+ax-a=0解得，x=

a± a2-4a

2

，
∴函數(shù)y=f（x）的零點為x=

a± a2-4a

2

和x0=

a+ a2+4a

2

．（12分）
綜上可得，當(dāng)a=0時，函數(shù)的零點為0；
當(dāng)0＜a＜4時，函數(shù)有一個零點，且零點為

a+ a2+4a

2

；
當(dāng)a=4時，有兩個零點2和2+2

2

；
當(dāng)a＞4時，函數(shù)有三個零點

a± a2-4a

2

點評：本題主要考查通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值；注意函數(shù)中若含參數(shù)一般需要討論．