Question

設(shè)a為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）先討論去絕對(duì)值，寫成分段函數(shù)，然后分別當(dāng)x≥2時(shí)與當(dāng)x＜2時(shí)的單調(diào)區(qū)間；
（II）討論a的正負(fù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極小值與0進(jìn)行比較，進(jìn)行分別判定函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x|x-2|-2=

x2-2x-2，x≥2 -x2+2x-2，x＜2

，①當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（-∞，1）上單調(diào)遞增；
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）．
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為x₀=0；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)=x|x-a|-a=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，
故當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a，二次函數(shù)對(duì)稱軸x=

a

2

＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，f（a）＜0；
當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-a，二次函數(shù)對(duì)稱軸x=

a

2

＜a，
∴f（x）在(

a

2

，a)上單調(diào)遞減，在(-∞，

a

2

)上單調(diào)遞增；
∴f（x）的極大值為f(

a

2

)=-(

a

2

)2+a×

a

2

-a=

a2

4

-a，
1°當(dāng)f(

a

2

)＜0，即0＜a＜4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸只有唯一交點(diǎn)，即唯一零點(diǎn)，
由x²-ax-a=0解之得函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為x0=

a+ a2+4a

2

或x0=

a- a2+4a

2

（舍去）；
2°當(dāng)f(

a

2

)=0，即a=4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁=2和x2=

a+ a2+4a

2

=2+2

2

；
3°當(dāng)f(

a

2

)＞0，即a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，
由-x²+ax-a=0解得，x=

a± a2-4a

2

，
∴函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為x=

a± a2-4a

2

和x0=

a+ a2+4a

2

．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為0；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)為

a+ a2+4a

2

；
當(dāng)a=4時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)2和2+2

2

；
當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)

a± a2-4a

2

和

a+ a2+4a

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．