已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點為F1，左焦點為F2，若橢圓上存在一點P，滿足線段PF1相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點為線段PF1的中點，則該橢圓的離心率為（　　）
A．
5
3
B．
2
3
C．
2
2
D．
5
9
設以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF1相切于點M，連結OM、PF2，
∵M、O分別為PF1、F1F2的中點，
∴MO∥PF2，且|PF2|=2|MO|=2b，
又∵線段PF1與圓O相切于點M，可得OM⊥PF1，
∴PF1⊥PF2，
Rt△PF1F2中，|F1F2|=2c，|PF2|=2b，
∴|PF1|=
|F1F2|2-|PF2|2
=
4c2-4b2
，
根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a，
∴
4c2-4b2
+2b=2a，即
c2-b2
=a-b，
兩邊平方得：c2-b2=（a-b）2，即a2-2b2=（a-b）2，化簡得2ab-3b2=0，解得b=
2
3
a，
因此，c=
a2-b2
=
5
3
a，可得橢圓的離心率e=
c
a
=
5
3
．
故選：A
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x=
a2
c
上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設點P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓x2+y2=3b2的一個交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且|PF1|=3|PF2|，則橢圓的離心率為（　�。�
A．
10
4
B．
3
5
C．
7
4
D．
14
4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

簡化的北京奧運會主體育場“鳥巢”的鋼結構俯視圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，設內(nèi)層橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，則外層橢圓方程可設為
x2
(ma)2
+
y2
(mb)2
=1(a＞b＞0，m＞1)．若AC與BD的斜率之積為-
9
16
，則橢圓的離心率為（　�。�
A．
7
4
B．
2
2
C．
6
4
D．
3
4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓的一個焦點與短軸的兩個頂點可構成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為（　�。�
A．
1
4
B．
1
2
C．
2
2
D．
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點P到左準線的距離為
5
2
，則點P到左焦點的距離為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩焦點為F1、F2，長軸兩端點為A1、A2．
（1）P是橢圓上一點，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積；
（2）若橢圓上存在一點Q，使∠A1QA2=120°，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設F1、F2為橢圓16x2+25y2=400的焦點，P為橢圓上的一點，則△PF1F2的周長是______，△PF1F2的面積的最大值是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)和圓O：x2+y2=b2，若C上存在點P，使得過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，滿足∠APB=60°，則橢圓C的離心率的取值范圍是______．

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同步練習冊答案