設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩焦點為F1、F2，長軸兩端點為A1、A2．
（1）P是橢圓上一點，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積；
（2）若橢圓上存在一點Q，使∠A1QA2=120°，求橢圓離心率e的取值范圍．
（1）∵|F1F2|=2c．
設(shè)|PF1|=t1，|PF2|=t2，
則根據(jù)橢圓的定義可得：t1+t2=2a①，
在△F1PF2中∠F1PF2=60°，
所以根據(jù)余弦定理可得：t12+t22-2t1t2•cos60°=4c2②，
由①2-②得t1•t2=
1
3
（4a2-4c2），
所以：S△F1PF2=
1
2
t1t2•sin60°=
1
2
×
4
3
(a2-c2)×
3
2
=
3
3
(a2-c2)．
所以△F1PF2的面積
3
3
(a2-c2)．
（2）由對稱性不防設(shè)Q在x軸上方，坐標為（x0，y0），
則tanA1QA2=
kQA1-kQA2
1+kQA1KQA2
=-
3
，即
y0
x0-a
-
y0
x0+a
1+
y0
x0-a
•
y0
x0+a
=-
3

整理得
2ay0
x20
-a2+y20
=-
3
，①
∵Q在橢圓上，
∴
x20
=a2(1-
y20
b2
)，代入①得y0=
2ab2
3
c2
，
∵0＜y0≤b
∴0＜
2ab2
3
c2
≤b，化簡整理得3e4+4e2-4≥0，
解得
6
3
≤e＜1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖：從橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1（-c，0），且
.
AB
∥
.
OM
，則a，b，c必滿足______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓C的短軸長為6，離心率為
4
5
，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點為F1，左焦點為F2，若橢圓上存在一點P，滿足線段PF1相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點為線段PF1的中點，則該橢圓的離心率為（　�。�
A．
5
3
B．
2
3
C．
2
2
D．
5
9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的準線方程是（　�。�
A．x=±
25
3
B．y=±
25
3
C．x=±
25
4
D．y=±
25
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在Rt△ABC中，AB=AC=1，如果橢圓經(jīng)過A，B兩點，它的一個焦點為C，另一個焦點在AB上，則這個橢圓的離心率為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若AB是過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM，BM與坐標軸不平行，kAM，kBM分別表示直線AM，BM的斜率，則kAM•kBM=（　�。�
A．-
c2
a2
B．-
b2
a2
C．-
c2
b2
D．-
a2
b2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓方程為
x2
16
+
y2
m2
=1(m＞0)，直線y=
2
2
x與該橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，則m的值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的一個焦點到相應(yīng)準線的距離為
5
4
，離心率為
2
3
，則橢圓的短軸長為（　�。�
A．
5
2
B．4
5
C．2
5
D．
5

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