【題目】在三棱錐P﹣ABC中.側(cè)梭長均為4.底邊AC=4.AB=2,BC=2 ,D.E分別為PC.BC的中點. 〔I)求證:平面PAC⊥平面ABC.
(Ⅱ)求三棱錐P﹣ABC的體積;
(Ⅲ)求二面角C﹣AD﹣E的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)∵PA=PB=PC=AC=4, 取AC的中點O,連接OP,OB,可得:OP⊥AC,
,
∵ ,∴AC2=AB2+BC2 , ∴△ABC為Rt△.
∴OB=OC=2,PB2=OB2+OP2 , ∴OP⊥OB.
又∵AC∩BO=O且AC、OB面ABC,∴OP⊥平面ABC,
又∵OP平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.)
(Ⅱ)由(I)可知:OP⊥平面ABC,∴OP為三棱錐P﹣ABC的高,且OP= .
直角三角形ABC的面積S= .
∴VP﹣ABC= = .
(Ⅲ)方法一:過點E 作EH⊥AC于H,過點H作HM⊥AD于M,
連接ME,∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,EH⊥AC,EH平面ABC,
∴EH⊥平面PAC,∴ME⊥AD(三垂線定理),
∴∠EMH即為所求的二面角的平面角.
∵E,D分別為中點,EH⊥AC,
∴在RT△HEC中: , ,
∴
在RT△HMA中, .
在RT△HME中, .
∴ .
【解析】(I)利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到OP⊥AC,再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB,利用線面垂直的判定定理即可證明;(II)由(I)可知OP⊥平面ABC,故OP為三棱錐P﹣ABC的高,且OP= ,直角三角形ABC的面積S= ,再利用 即可得出.(III)過點E 作EH⊥AC于H,過點H作HM⊥AD于M,連接ME,由平面PAC⊥平面ABC,EH⊥AC,EH平面ABC,可得EH⊥平面PAC,于是ME⊥AD(三垂線定理),可得∠EMH即為所求的二面角的平面角.利用直角三角形的邊角關(guān)系求出即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知曲線在點處的切線與直線平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然數(shù),使得方程在內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,請說明理由。
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)(表示中的較小者),求的最大值。
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【題目】已知定義域為的單調(diào)減函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0]
B.(﹣∞,1]
C.[﹣2,1]
D.[﹣2,0]
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【題目】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗,設(shè)一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個. (Ⅰ)求三種粽子各取到1個的概率;
(Ⅱ)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1: (a>b>0)的左焦點為F1(﹣1,0),且點P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知點,.
求的值;
若的平分線交線段AB于點D,求點D的坐標;
在單位圓上是否存在點C,使得?若存在,請求出點C的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
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【題目】某軍工企業(yè)生產(chǎn)一種精密電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):其中x是儀器的月產(chǎn)量.
(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù);
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤是多少元?(總收益=總成本+利潤.)
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