【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),證明:.
【答案】(1) 當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增;
在上單調(diào)遞減;時(shí), 在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減; 在上單調(diào)遞增.
(2)見解析.
【解析】分析:(1)由,分別討論當(dāng)時(shí),或討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)從而可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由(1)知,且為方程的兩個(gè)根,由根與系數(shù)的關(guān)系,其中,可化簡(jiǎn),令,進(jìn)而求導(dǎo)求最值即可證得.
詳解:(1) .
令,,對(duì)稱軸為.
①當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)或時(shí), .此時(shí),方程兩根分別為,.
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,所以在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng),, 所以在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增;
在上單調(diào)遞減;時(shí), 在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減; 在上單調(diào)遞增.
(2)由(1)知,且為方程的兩個(gè)根.
由根與系數(shù)的關(guān)系,其中.
于是
.
令,
,
所以在在上單調(diào)遞減,且.
∴,即,
又,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示。
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍和這兩個(gè)根的和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,.
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,記,證明:.
【答案】(Ⅰ)極大值為,無(wú)極小值;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】分析:(Ⅰ)先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,然后可得當(dāng)時(shí),有極大值,無(wú)極小值.(Ⅱ)不妨設(shè),由題意可得,即,又由條件得,構(gòu)造,令,則,利用導(dǎo)數(shù)可得,故得,又,所以.
詳解:(Ⅰ),
,
由得,
且當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)時(shí),有極大值,且,無(wú)極小值.
(Ⅱ)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,不妨設(shè),
,.
,
即,
又,,
,
.
令,則
,
在上單調(diào)遞減,
故,
,
即,
又,
.
點(diǎn)睛:(1)研究方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大(。┲怠⒑瘮(shù)的變化趨勢(shì)等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的大體圖象,然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).
(2)證明不等式時(shí)常采取構(gòu)造函數(shù)的方法,然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為:.
(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,(其中, 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ……).
(1)令,若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,設(shè)為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù), ,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具,為我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn).在算籌計(jì)數(shù)法中,以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字,如圖:
表示多位數(shù)時(shí),個(gè)位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,以此類推,遇零則置空,如圖:
如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃?下面的表格中,那么可以表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中底面,為直角,,,分別為的中點(diǎn).
(1)試證:平面;
(2)求與平面所成角的大;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在學(xué)年期末舉行“我最喜歡的文化課”評(píng)選活動(dòng),投票規(guī)則是一人一票,高一(1)班44名學(xué)生和高一(7)班45名學(xué)生的投票結(jié)果如下表(無(wú)廢票):
語(yǔ)文 | 數(shù)學(xué) | 外語(yǔ) | 物理 | 化學(xué) | 生物 | 政治 | 歷史 | 地理 | |
高一(1)班 | 6 | 9 | 7 | 5 | 4 | 5 | 3 | 3 | 2 |
高一(7)班 | 6 | 4 | 5 | 6 | 5 | 2 | 3 |
該校把上表的數(shù)據(jù)作為樣本,把兩個(gè)班同一學(xué)科的得票之和定義為該年級(jí)該學(xué)科的“好感指數(shù)”.
(Ⅰ)如果數(shù)學(xué)學(xué)科的“好感指數(shù)”比高一年級(jí)其他文化課都高,求的所有取值;
(Ⅱ)從高一(1)班投票給政治、歷史、地理的學(xué)生中任意選取位同學(xué),設(shè)隨機(jī)變量為投票給地理學(xué)科的人數(shù),求的分布列和期望;
(Ⅲ)當(dāng)為何值時(shí),高一年級(jí)的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科的“好感指數(shù)”的方差最小?(結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新高考最大的特點(diǎn)就是取消文理分科,除語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)之外,從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這科中自由選擇三門科目作為選考科目.某研究機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生對(duì)全文(選擇政治、歷史、地理)的選擇是否與性別有關(guān),從某學(xué)校高一年級(jí)的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取男生,女生各人進(jìn)行模擬選科.經(jīng)統(tǒng)計(jì),選擇全文的人數(shù)比不選全文的人數(shù)少人.
(1)估計(jì)在男生中,選擇全文的概率.
(2)請(qǐng)完成下面的列聯(lián)表;并估計(jì)有多大把握認(rèn)為選擇全文與性別有關(guān),并說明理由;
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2, , 分別為和的中點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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