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【題目】如圖，在圓心角為，半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點為圓心，點在圓弧上，點在兩半徑上，現將此矩形鐵皮卷成一個以為母線的圓柱形鐵皮罐的側面(不計剪裁和拼接損耗)，設矩形的邊長，圓柱形鐵皮罐的容積為.

（1）求圓柱形鐵皮罐的容積關于的函數解析式，并指出該函數的定義域；

（2）當為何值時，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大？最大容積是多少？ (圓柱體積公式：，為圓柱的底面枳，為圓柱的高）

【答案】（1）；（2），.

【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根據周長公式得半徑，再根據圓柱體積公式求V(x)，最后根據實際意義確定定義域，（2）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規(guī)律，確定函數單調性，進而得函數最值.

詳解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，

設圓柱底面半徑為r，則＝2πr，

即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，

即鐵皮罐的容積為V(x)關于x的函數關系式為V(x)＝，定義域為(0，60).

（2）由V ′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．

列表如下：

x

(0，20)

20

(20，60)

V ′(x)

＋

0

－

V(x)

↗

極大值V(20)

↘

所以當x＝20時，V(x)有極大值，也是最大值為.

答：當x為20 cm時，做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大，最大容積是.

練習冊系列答案
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A.
B.
C.2
D.

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