Question

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x，y的正半軸與A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求線段AB中點的軌跡方程；
（2）求ab的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出線段AB中點坐標，利用截距式方程，直線與圓相切，求出AB中點的軌跡方程．
（2）利用（1）得到的a，b關(guān)系，然后求出ab的表達式，通過基本不等式求出最小值即可．

解答：解：（1）設(shè)AB的中點坐標為（x，y），
由題意可知a=2x，b=2y，直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
曲線C的方程可化為（x-1）²+（y-1）²=1，
所以曲線C為圓．
圓心到直線l的距離 d=

|b+a-ab|

a2+b2

，
當(dāng)d=1時，直線與圓相切，
即

|b+a-ab|

a2+b2

=1，整理得（a-2）（b-2）=2，
線段AB中點的軌跡方程為：（x-1）（y-1）=1，x＞1，y＞1．
（2）由（1）得到（a-2）（b-2）=2且a＞2，b＞2，
所以ab=2（a+b）-2≥4

ab

-2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
所以當(dāng)a=b時，ab最小即三角形的面積最小，則三角形AOB為等腰直角三角形
則ab=4

2

+6，此時a=b=

2 ( 2 +1)

2

=

2

+2，
所以ab的最小值為：4

2

+6．

點評：本題是中檔題，考查軌跡方程的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，高考會考常考題型．