Question

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點，O為原點，且|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）寫出直線的截距式方程，化為一般式，化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，由圓心到直線的距離等于半徑得到曲線C與直線l相切的充要條件；
（2）設(shè)出線段AB的中點坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式得到a，b與AB中點坐標(biāo)的關(guān)系，代入（1）中的條件得線段AB中點的軌跡方程．

解答：（1）證明：由題意知，直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
即bx+ay-ab=0．
曲線C的方程配方得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴直線l與圓C相切的充要條件是1=

|a+b-ab|

a2+b2

，
整理得ab-2a-2b+2=0，
即（a-2）（b-2）=2；
（2）解：設(shè)AB的中點為M（x，y），
則由中點坐標(biāo)公式得：a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得
（2x-2）（2y-2）=2，
即 （x-1）（y-1）=

1

2

（其中x＞1，y＞1），
∴線段AB中點的軌跡方程為：（x-1）（y-1）=

1

2

（其中x＞1，y＞1）．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓位置關(guān)系的判斷，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的用法，屬中檔題．