Question

已知曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的倍；曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線.

(Ⅰ)求,的方程；

(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線,其中與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ),；(Ⅱ).

【解析】

試題分析：(Ⅰ)求 曲線，則設(shè)該曲線上某點(diǎn)，然后根據(jù)題目條件，得到關(guān)于的方程，再化簡(jiǎn)即可得到.曲線可以根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得到，為拋物線焦點(diǎn)，從而得到；(Ⅱ)用點(diǎn)斜式設(shè)出的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，即可得到關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程.再根據(jù)韋達(dá)定理即得到的長度.由題意可設(shè)的方程為,代入可得關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程.再根據(jù)韋達(dá)定理即得到的長度.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040604380934875469/SYS201404060438444424971401_DA.files/image017.png">，從而四邊形的面積為，經(jīng)化簡(jiǎn)，通過基本不等式即可得到四邊形面積的取值范圍為.

試題解析：(Ⅰ)設(shè)，則由題意有,化簡(jiǎn)得:.

故的方程為，易知的方程為.                      4分

(Ⅱ)由題意可設(shè)的方程為,代入得,

設(shè),則,

所以.           7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040604380934875469/SYS201404060438444424971401_DA.files/image025.png">,故可設(shè)的方程為,代入得

,設(shè),則,

所以.   10分

故四邊形的面積為

()

設(shè)，因此

,當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立.

故四邊形面積的取值范圍為.                                13分

考點(diǎn)：1.曲線與方程；2.拋物線的幾何性質(zhì)；3.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；4.基本不等式；5.函數(shù)的單調(diào)性.