【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2 sin2x+1﹣
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當x∈[ , ]時,若f(x)≥log2t恒成立,求t的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)=sin2x﹣ cos2x+1=2sin(2x﹣ )+1,

∵ω=2,

∴函數(shù)f(x)最小正周期是T=π;

當2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2π+ ,k∈Z,

即kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,

函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z


(2)解:∵x∈[ , ],

∴2x﹣ ∈[0, ],

∴f(x)=2sin(2x﹣ )+1的最小值為1,

由f(x)≥log2t恒成立,得log2t≤1=log22恒成立,

∴0<t≤2,

即t的取值范圍為(0,2]


【解析】(1)函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),找出ω的值,代入周期公式即可求出函數(shù)f(x)的最小正周期,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由x的范圍求出這個角的范圍,利用正弦函數(shù)的值域確定出f(x)的最小值,根據(jù)f(x)≥log2t恒成立,得到log2t小于等于f(x)的最小值,即可確定出t的范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關知識,掌握兩角和與差的正弦公式:,以及對正弦函數(shù)的單調(diào)性的理解,了解正弦函數(shù)的單調(diào)性:在上是增函數(shù);在上是減函數(shù).

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】(1)橢圓C:+=1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點,點P是橢圓C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,求證:為定值b2﹣a2

(2)由(1)類比可得如下真命題:雙曲線C:=1(a>0,b>0)與x軸交于A、B兩點,點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,則為定值.請寫出這個定值(不要求給出解題過程).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】近年來,武漢市出現(xiàn)了非常嚴重的霧霾天氣,而燃放煙花爆竹會加重霧霾,是否應該全面禁放煙花爆竹已成為人們議論的一個話題.武漢市環(huán)保部門就是否贊成禁放煙花爆竹,對400位老年人和中青年市民進行了隨機問卷調(diào)查,結(jié)果如下表:

贊成禁放

不贊成禁放

合計

老年人

60

140

200

中青年人

80

120

200

合計

140

260

400

附:K2=

P(k2>k0

0.050

0.025

0.010

k0

3.841

5.024

6.635


(1)有多大的把握認為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關?請說明理由;
(2)從上述不贊成禁放煙花爆竹的市民中按年齡結(jié)構(gòu)分層抽樣出13人,再從這13人中隨機的挑選2人,了解他們春節(jié)期間在煙花爆竹上消費的情況.假設一位老年人花費500元,一位中青年人花費1000元,用X表示它們在煙花爆竹上消費的總費用,求X的分布列和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(13分)
(I)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;
(II)求證:PD⊥平面PBC;
(II)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增的函數(shù)是(
A.y=﹣
B.y=3x﹣3x
C.y=x|x|
D.y=x3﹣x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】做一個無蓋的圓柱形水桶,若要使其體積是,且用料最省,則圓柱的底面半徑為__________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設向量 =( sinx,sinx), =(cosx,sinx),x∈(0, ).
(1)若| |=| |,求x的值;
(2)設函數(shù)f(x)= ,求f(x)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某市調(diào)研考試后,某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中優(yōu)秀的人數(shù)是30人.

(1)請完成上面的列聯(lián)表;

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

甲班

10

乙班

30

合計

110

(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認為“成績與班級有關系”;

參考公式與臨界值表 .

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校高一年級開設A,B,C,D,E五門選修課,每位同學須彼此獨立地選三門課程,其中甲同學必選A課程,不選B課程,另從其余課程中隨機任選兩門課程.乙、丙兩名同學從五門課程中隨機任選三門課程.
(1)求甲同學選中C課程且乙同學未選中C課程的概率;
(2)用X表示甲、乙、丙選中C課程的人數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案