Question

（2007•威海一模）如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D為AC的中點．
（I）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）在（II）的條件下，求二面角B-A₁C₁-D的大�。�

Answer 1

分析：（I）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明B₁C∥ED，利用線面平行的判定，可得B₁C∥平面A₁BD；
（II）證明A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，利用線面垂直的判定，即可得出結論；
（III）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結論．

解答：（I）證明：連結AB₁交A₁B于E，連ED．
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱中，且AB=BB₁，
∴側面ABB₁A是一正方形．
∴E是AB₁的中點，又已知D為AC的中點．
∴在△AB₁C中，ED是中位線．
∴B₁C∥ED．∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（II）證明：∵AC₁⊥平面ABD，∴AC₁⊥A₁B，
又∵側面ABB₁A是一正方形，∴A₁B⊥AB₁．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁．∴A₁B⊥B₁C₁．
又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥B₁C₁．
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．…（8分）
（III）解：由上問知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．∴BC⊥平面ABB₁A₁．∴BC⊥AB．
以BA、BC、BB₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
不妨設AB=BC=BB₁=1，則顯然B、D、A₁、C₁各點的坐標分別是
B（0，0，0），D（

1

2

，

1

2

，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）．

∴ BA1 =(1，0，1)， BC1 =(0，1，1)， BD =( 1 2 ， 1 2 ，0). 顯然， BD 就是平面A1C1D的法向量. 設平面BA1C1的法向量為 n =(x，y，z)，則 n • BA1 =0， n • BC1 =0. ∴(x，y，z)•(1，0，1)=0，(x，y，z)•(0，1，1)=0. ∴x=y=-z．令x=1，則 n =(1，1，-1). 設 n 與 BD 所成的角為θ，則cosθ= n • BD | n || BD | =…= 6 3 .

由圖形可知二面角B-A₁C₁-D的平面角為銳角，
∴二面角B-A₁C₁-D的大小為arccos

6

3

．…（12分）

點評：本題考查線面平行、線面垂直的判定，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．