Question

（2007•威海一模）已知函數(shù)f（x）=

1

2

[tln（x+2）-ln（x-2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．
（1）求t的值；
（2）求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（3）設F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是單調遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（4）是f（x）的最小值，求導函數(shù)，即可求得結論；
（2）令導函數(shù)等于0求出x的值，判斷函數(shù)的單調性，進而可求出最大值．
（3）對函數(shù)f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于等于0在R上恒成立即可求出a的范圍

解答：解：（1）f（4）是f（x）的最小值
對f（x）求導，有f'（x）=

1

2

（

t

x+2

-

1

x-2

），
∴x=4時，f'（x）=0，∴

t

4+2

-

1

4-2

=0，∴t=3；
（2）f'（x）=

1

2

(

3

x+2

-

1

x-2

)=

x-4

(x+2)(x-2)

∴在x∈（3，4）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調減，在x∈（4，7）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調增
∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了
∵f（3）=

3

2

ln5，f（7）=

3ln9

2

-

ln5

2

∴f（3）＞f（7），∴x=3時，f（x）在[3，7]上取得最大值，為

3

2

ln5；
（3）F′（x）=

a

x-1

-f′（x）=

a

x-1

-

x-4

(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立
∴

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情況討論（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況．
當a-1＜0時，顯然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
當a-1=0時（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
當a-1＞0時，又有兩種情況：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-

5

2(a-1)

≤2且（a-1）×2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，無解；由②得a≥-

1

4

，a-1＞0，∴a＞1
綜上所述各種情況，當a≥1時（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．