【題目】如甲圖所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點,將△ADE沿AE折起到△D1AE位置,使平面D1AE⊥平面ABCE,得到乙圖所示的四棱錐D1﹣ABCE.
(Ⅰ)求證:BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)如圖,取AE中點F,連D1F, 在△AD1E中,∵D1A=D1E=2,∴D1F⊥AE,
又∵平面D1AE⊥平面ABCE,∴D1F⊥平面ABCE,
∵BE平面ABCE,∴D1F⊥BE.
在△ABE中,可得 ,BE=2 ,AB=4,
∴BE⊥AE,又∵D1F∩AE=F,
∴BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)解:由題意,取AB中點G,以E為坐標原點,分別以EG,EC為x,y軸正方向建立空間直角坐標系E﹣xyz.
如圖所示,則E(0,0,0),C(0,2,0)D1(1,﹣1, ),B(2,2,0),
由(Ⅰ)知: 是平面AD1E的法向量,
設(shè)平面CED1的法向量為 ,則
,令z=1,則x=﹣ ,y=0,
∴ ,
設(shè)二面角A﹣D1E﹣C的平面角為θ,
則|cosθ|=|cos< >|=| |= .
由圖可知,二面角A﹣D1E﹣C的平面角為鈍角,
∴cos ,
即二面角A﹣D1E﹣C的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)取AE中點F,連D1F,求解三角形可得D1F⊥AE,又平面D1AE⊥平面ABCE,利用面面垂直的性質(zhì)可得D1F⊥平面ABCE,從而得到D1F⊥BE.在△ABE中,可得BE⊥AE,再利用線面垂直的判定可得BE⊥平面D1AE;(Ⅱ)由題意,取AB中點G,以E為坐標原點,分別以EG,EC為x,y軸正方向建立空間直角坐標系E﹣xyz.求出所用點的坐標,得到平面AD1E與平面CED1的法向量.利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣D1E﹣C的余弦值.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想即可以解答此題.
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【題目】已知曲線C1的極坐標方程為ρ=6cosθ,曲線C2的極坐標方程為θ= (p∈R),曲線C1 , C2相交于A,B兩點. (Ⅰ)把曲線C1 , C2的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程;
(Ⅱ)求弦AB的長度.
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【題目】已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),它的前n項和為Sn , 滿足2Sn=an2+an , 記bn=(﹣1)n .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前2016項的和.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x2)≥( ﹣1)x2 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[﹣3,3].
(Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x+2)>0;
(Ⅱ)若a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=m,求證: ≥3.
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【題目】有以下命題:
①若函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),則f(x)的值域為{0};
②若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(|x|)=f(x);
③若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則f(x)不存在反函數(shù);
④若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f﹣1(x),且f﹣1(x)與f(x)不完全相同,則f(x)與f﹣1(x)圖象的公共點必在直線y=x上;
其中真命題的序號是 . (寫出所有真命題的序號)
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【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=AB=BC=1, ,平面ACFE⊥平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AE=1,點M在線段EF上.
(1)當 為何值時,AM∥平面BDF?證明你的結(jié)論;
(2)求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值.
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【題目】若函數(shù)f(x)=sin(2x﹣ )的圖象向左平移 個單位后,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,則下列說法錯誤的是( )
A.y=g(x)的最小正周期為π
B.y=g(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱
C.y=g(x)在[﹣ , ]上單調(diào)遞增
D.y=g(x)的圖象關(guān)于點( ,0)對稱
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