Question

函數(shù)f（x）=2^x和g（x）=x³的圖象的示意圖如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）請(qǐng)指出示意圖中曲線C₁，C₂分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)？
（2）證明：x₁∈[1，2]，且x₂∈[9，10]；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象的示意圖，判斷f（6），g（6），f（100），g（100）的大小，并按從小到大的順序排列．

Answer 1

分析：（1）C₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）=x³，C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f（x）=2^x．
（2）令∅（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數(shù)∅（x）的零點(diǎn)，根據(jù)∅（1）、∅（2）、∅（9）、∅（10）的符號(hào)，利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得x₁∈[1，2]，且x₂∈[9，10]． 
（3）從圖象上可以看出，分當(dāng)x₁＜x₂時(shí)和當(dāng)x₁＞x₂時(shí)兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得f（6），g（6），f（100），g（100）的大小．

解答：解：（1）C₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）=x³，C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f（x）=2^x．…（4分）
（2）證明：令∅（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數(shù)∅（x）的零點(diǎn)，
由于∅（1）=1＞0，∅（2）=-4＜0，∅（9）=2⁹-9³＜0，∅（10）=2¹⁰-10³＞0，
所以方程∅（x）=f（x）-g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
x₁∈[1，2]，且x₂∈[9，10]． …（8分）
（3）從圖象上可以看出，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x）＜g（x），
∴f（6）＜g（6）．…（10分）
當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，f（x）＞g（x），∴g（100）＜f（100），∵g（6）＜g（100），
∴f（6）＜g（6）＜g（100）＜f（100）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．