（本小題14分）

設(shè)函數(shù)，其中．

（I）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（II）求函數(shù)的極值點；

（III）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立．

（1）在定義域上單調(diào)遞增（2）見解析（3）見解析


解析:

（I） 函數(shù)的定義域為．     1分

                          2分

令，則在上遞增，在上遞減  

．                             4分

當(dāng)時，，

在上恒成立．

即當(dāng)時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增． 5分

（II）分以下幾種情形討論：

（1）由（I）知當(dāng)時函數(shù)無極值點．         6分

（2）當(dāng)時，

時，時，

時，函數(shù)在上無極值點．         7分

（3）當(dāng)時，解得兩個不同解，8分

當(dāng)時，，，

此時在上有唯一的極小值點．     9分

當(dāng)時，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此時有一個極大值點和一個極小值點．10分

綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；

時，函數(shù)在上無極值點．               

（III） 當(dāng)時，

令則在上恒正 

在上單調(diào)遞增              

當(dāng)時，恒有．           12分

即當(dāng)時，有，

對任意正整數(shù)，取得            14分

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，，求．

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（2）如果存在，使得成立，

求滿足上述條件的最大整數(shù)；[來源:學(xué)�？�。網(wǎng)Z。X。X。K]

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