Question

函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當 x∈（0，1）時，．
（1）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調性并證明．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
當x∈（-1，0）時，f（-x）===-f（x），
∴x∈（-1，0）時，f（x）=-
綜上所述，
（2）∵當 x∈（0，1）時，．
∴令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=-=
∵-＜0，＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
由此可得，函數(shù)f（x）在（0，1）上的是單調增函數(shù)．
分析：（1）函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0；再根據(jù)當x∈（0，1）時的表達式，可得x∈（-1，0）時，
f（x）=-，綜上所述即得函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）利用單調性的定義，令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=，因為-＜0，•＞0，所以f（x₁）＜f（x₂）．由此可得，函數(shù)f（x）在（0，1）上的是單調增函數(shù)．
點評：本題以含有指數(shù)式的分式函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調性與奇偶性等簡單性質等知識點，屬于中檔題．