Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公比q為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且有5S₂=4S₄，設(shè)b_n=q+qⁿ+S_n．
（1）求q的值；
（2）數(shù)列{b_n}能否是等比數(shù)列？若是，請(qǐng)求出所有可能的a₁的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式s_n=

a1(1-qn)

1-q

，寫(xiě)出S₂，S₄，代入等式5S₂=4S₄，可以求出q；
（2）先化簡(jiǎn)數(shù)列b_n=q+qⁿ+S_n，根據(jù)前三項(xiàng)可以求出首項(xiàng)a₁，代入a₁，驗(yàn)證數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列即可．

解答：解：由題意知
（1）∵q≠1，
∴S₂=

a1(1-q2)

1-q

，S₄=

a1(1-q4)

1-q

，
∴5（1-q²）=4（1-q⁴）．
∵q＞0，
∴q=

1

2

．
（2）∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

=2a₁-2a₁（

1

2

）ⁿ，
∴b_n=q+qⁿ+S_n=2a₁+

1

2

+（1-2a₁）（

1

2

）ⁿ．
若{b_n}是等比數(shù)列，則b₁=a₁+1，b₂=

3

2

a₁+

3

4

，b₃=

7

4

a₁+

5

8

，
由b₂²=b₁b₂，解得8a₁²-2a₁-1=0，所以a₁=-

1

4

，或a₁=

1

2

．
①當(dāng)a₁=

1

2

時(shí)，b_n=

3

2

，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
②當(dāng)a₁=-

1

4

時(shí)，b_n=

3

2

 （

1

2

）ⁿ．
∵

bn+

bn

=

3 2 ( 1 2 )n+1

3 2 ( 1 2 )n

=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列，及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題型．