Question

【題目】在等腰直角中，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn).現(xiàn)沿邊折起成如圖四棱錐，為中點(diǎn).

（1）證明：面；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，由中位線定理可證，，由面面平行的判定定理可證面面，由面面平行的性質(zhì)定理即可證得面；

（2）連結(jié)，由勾股定義證得，由線面垂直的判定定理證得面，即可說明，，兩兩互相垂直，進(jìn)而以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為，，正方向建立空間直角坐標(biāo)系，再分別表示點(diǎn)C,A,P,B,E的坐標(biāo)，進(jìn)而求面與面的法向量，再由數(shù)量積中求夾角的計(jì)算公式求得余弦值，最后觀察下結(jié)論.

折前：，，折后：，

（1）證明：（法一）取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，又，

∴面面，又面，∴面.

（法二）取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，又，，

∴，，∴是平行四邊形，∴，

又面，面，∴面.

（2）連結(jié)，∵，，∴，又，，

由即得

又，，∴面，∴，

∴，，兩兩互相垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為，，正方向建如圖系.

則，，，，∴，

設(shè)面，面，，.

又，，，由即，取；

由，即，取.則，

又二面角為鈍角.故二面角的余弦值為.