【題目】如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點，是的中點.分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點.

（1）證明：平面.

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

(1)先證，再證，由可得平面 ，從而推出平面 ；(2) 建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與，坐標代入線面角的正弦值公式即可得解.

（1）證明：連接，，由圖1知，四邊形為菱形，且，

所以是正三角形，從而.

同理可證，，

所以平面.

又，所以平面，

因為平面，

所以平面平面.

易知，且為的中點，所以，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，，且四邊形為正方形.設的中點為，

以為原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，，.

設平面的法向量為，

由得

取.

設直線與平面所成的角為，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】去年年底，某商業(yè)集團公司根據(jù)相關評分細則，對其所屬25家商業(yè)連鎖店進行了考核評估.將各連鎖店的評估分數(shù)按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四組，其頻率分布直方圖如下圖所示，集團公司依據(jù)評估得分，將這些連鎖店劃分為A,B,C,D四個等級，等級評定標準如下表所示.

評估得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100)

評定等級

D

C

B

A

（1）估計該商業(yè)集團各連鎖店評估得分的眾數(shù)和平均數(shù)；

（2）從評估分數(shù)不小于80分的連鎖店中任選2家介紹營銷經(jīng)驗，求至少選一家A等級的概率.

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【題目】設，，其中a，．

Ⅰ求的極大值；

Ⅱ設，，若對任意的，恒成立，求a的最大值；

Ⅲ設，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．

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（1）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；

（2）設定義在上的函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的短軸長為，過點，的直線傾斜角為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點且斜率為的直線，使直線交橢圓于兩點，以為直徑的圓過點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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【題目】有一塊半圓形的空地，直徑米，政府計劃在空地上建一個形狀為等腰梯形的花圃，如圖所示，其中為圓心，，在半圓上，其余為綠化部分，設.

（1）記花圃的面積為，求的最大值；

（2）若花圃的造價為10元/米，在花圃的邊、處鋪設具有美化效果的灌溉管道，鋪設費用為500元/米，兩腰、不鋪設，求滿足什么條件時，會使總造價最大.

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【題目】設函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

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①實數(shù)的取值范圍；

②證明：.

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【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下:

(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);

(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學期望;

(Ⅲ)為便于聯(lián)絡，現(xiàn)將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡員，要求每組的聯(lián)絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結論不要求證明)

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（1）證明：面；

（2）當時，求二面角的平面角的余弦值.

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