（2012•湖北模擬）已知函數(shù)
a
=(cos2x，-1)，
b
=(1，cos(2x-
π
3
))，設f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設x為三角形的內(nèi)角，且函數(shù)y=2f（x）+k恰有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）由題意可得f（x）的解析式，可得周期，由整體法可得單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-
π
6
），原問題可轉化為方程sin（2x-
π
6
）=1+
k
2
在區(qū)間（0，π）上恰有兩根，可得不等式-1＜1+
k
2
＜1且1+
k
2
≠-
1
2
，解之即可．
解答：解：（1）由題意可得f（x）=
a
•
b
+1=cos2x-cos（2x-
π
3
）+1
=cos2x-
1
2
cos2x-
3
2
sin2x+1=
1
2
cos2x-
3
2
sin2x+1
=1-sin（2x-
π
6
），所以其最小正周期為π，
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
解得kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（kπ-
π
6
，kπ+
π
3
），k∈Z，
（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-
π
6
）
因為x為三角形的內(nèi)角，且函數(shù)y=2f（x）+k恰有兩個零點，
即方程sin（2x-
π
6
）=1+
k
2
在區(qū)間（0，π）上恰有兩根，
∴-1＜1+
k
2
＜1且1+
k
2
≠-
1
2
，
解得-4＜k＜0，且k≠-3
點評：本題為三角函數(shù)與向量的結合，涉及三角函數(shù)的周期單調(diào)性和函數(shù)的零點，屬中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為3+2
2
，3-2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點，與y軸交于點R，若
RM
=λ
MQ
，
RN
=μ
NQ
，證明：λ+μ為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，點P在AM上，且滿足
AP
=2
PM
，則
PA
•(
PB
+
PC
)的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知函數(shù)y=g（x）的圖象由f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜π）個單位得到，這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示，則φ=
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則公比q等于
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式
x-m
f(x)
＞
x
成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數(shù)x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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