Question

（2012•湖北模擬）函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x₀，我們把|f（x₀）-g（x₀）|的值稱為兩函數(shù)在x₀處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，我們可以求出函數(shù)y=f（x）的圖象與Y軸的交點(diǎn)和y=g（x）的圖象與X軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，根據(jù)函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行，即兩函數(shù)在交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）由（1）中結(jié)論，我們可將不等式

x-m

f(x)

＞

x

化為m＜x-ex

x

，若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，則m小于x-ex

x

在[0，+∞）上的最大值，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x-ex

x

，并求出其在[0，+∞）上的最大值，即可得到答案．
（3）構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-lnx，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)當(dāng)分析函數(shù)的單調(diào)性，然后分x≥1時(shí)和0＜x＜1時(shí)，兩種情況分別確定函數(shù)在x₀處的偏差的取值范圍，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=ae^x，
∴f′（x）=ae^x，
函數(shù)f（x）=ae^x只于Y軸交于（0，a）
且f′（0）=a
又∵g（x）=lnx-lna，
∴g′（x）=

1

x

，
又∵函數(shù)g（x）=lnx-lna只于X軸交于（a，0）點(diǎn)
∴g′（a）=

1

a

又∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行
∴a=1
(2)分離m后得m＜x-ex

x

在[0，+∞)上有解，
∴m＜(x-ex

x

)max
構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-ex

x

(x∈[0，+∞))
則h，(x)=1-ex(

x

+

1

2 x

)
∵x∈（0，+∞）時(shí)，e^x＞1

x

+

1

2 x

≥2

x • 1 2 x

=

2

∴h，（x）＜0，h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減
∴h（x）_max=h（0）=0
∴m＜0
（3）設(shè)h（x）=e^x-lnx，h′(x)=ex-

1

x

（i）當(dāng)x≥1時(shí)，h'（x）＞0，有h（x）≥h（1）=e＞2
（ii）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，設(shè)ex0=

1

x0

，則x₀+lnx₀=0[
此時(shí)h(x)≥h(x0)=ex0-lnx0=

1

x0

+x0＞2
所以綜上有函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，直線平行與斜率的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)法求直線的斜率，函數(shù)恒成立問題，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行，確定出兩函數(shù)在與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值相等；（2）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)恒成立條件將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-lnx，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)當(dāng)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行確定分類標(biāo)準(zhǔn)．