Question

一名博彩操盤(pán)手，放6個(gè)白球和6個(gè)紅球在一個(gè)袋子中，定下規(guī)則：凡愿摸彩者，每人交
1元錢(qián)給這名操盤(pán)手作為“手續(xù)費(fèi)”然后可以一次從袋中摸出5個(gè)球，中彩情況如下表：

摸5個(gè)球	中彩發(fā)放產(chǎn)品
有5個(gè)白球	1個(gè)帽子（價(jià)值20元）
恰有4個(gè)白球	1張賀卡（價(jià)值2元）
恰有3個(gè)白球	紀(jì)念品（價(jià)值0.5元）
其他	同樂(lè)一次（無(wú)任何獎(jiǎng)品）

（1）求摸一次能獲得20元獎(jiǎng)品的概率；
（2）按摸10000次統(tǒng)計(jì)，求這名操盤(pán)手平均凈賺多少錢(qián)？（精確到100元）

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是從12個(gè)球中摸出5個(gè)球，共有C₁₂⁵種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是從6個(gè)球中摸出5個(gè)球，共有C₆⁵種結(jié)果，得到概率．
（2）在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一個(gè)隨機(jī)變量，他能否賺錢(qián)，就看該隨機(jī)變量的期望是否大于0．把取到白球的個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量ξ，做出概率，算出收入，寫(xiě)出收入的分布列，做出期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是從12個(gè)球中摸出5個(gè)球，共有C₁₂⁵種結(jié)果，
滿(mǎn)足條件的事件是從6個(gè)球中摸出5個(gè)球，共有C₆⁵種結(jié)果，
∴摸一次能獲得20元獎(jiǎng)品的概率是P=

C 5 6

C 5 12

=

1

132

；
（2）在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一個(gè)隨機(jī)變量，
他能否賺錢(qián)，就看該隨機(jī)變量的期望是否大于0．
如果把取到白球的個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量ξ，則P(ξ=5)=

C 5 6

C 5 12

=

1

132

，P(ξ=4)=

C 4 6 • C 1 6

C 5 12

=

15

132

P(ξ=3)=

C 3 6 • C 2 6

C 5 12

=

50

132

P(ξ=2)+P(ξ=1)+P(ξ=0)=

66

132

∴博彩者的收入這一隨機(jī)變量η（可能是負(fù)數(shù)值）的分布列為

η	-19	-1	0.5	1
P	1 132	15 132	50 132	66 132

∴收入隨機(jī)變量η的期望為：Eη=(-19)×

1

132

+(-1)×

15

132

+0.5×

50

132

+1×

66

132

=

57

132

=0.4300，
故這各操盤(pán)手平均凈賺4300元．

點(diǎn)評(píng)：本題看出離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，以及等可能事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是利用概率解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要首先讀懂題意．