【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)： ，再根據(jù)導函數(shù)符號是否變化分類討論：當時， ，當時， ，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）先求函數(shù)導數(shù)，因為，結(jié)合（1）結(jié)論得： ，因此， ， ,由于，所以恒成立，解， 得的取值范圍.

試題解析：解：(1)由題得，所以.

當時， ，所以在上單調(diào)遞增；

當時， ，所以在上單調(diào)遞減；

當時，令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上所述，當時， 在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，所以在上單調(diào)遞減.

(2) ， ，

設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，則由，可知在區(qū)間上不單調(diào)，則在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點.

由(1)知，當時， 在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意.

當時， 在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意，所以，

此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

因此， ， ，必有， .

由，得， .

又， ，解得.

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