（14分）如圖，已知拋物線C1： y=x2, 與圓C2： x2+(y+1)2="1," 過y軸上一點A（0, a）（a>0）作圓C2的切線AD，切點為D（x0, y0）.

（1）證明：(a+1)(y0+1)=1

（2）若切線AD交拋物線C1于E，且E為AD的中點，求點A縱坐標a.

 

【答案】

（1）過D（x0, y0）的切線方程x0x+(y0+1)(y+1)=1  (*)

由（*）過點A（0, a）， 將點A坐標代入（*）得(y0+1)(a+1)=1（2）

【解析】

試題分析：（1）過D（x0, y0）的切線方程x0x+(y0+1)(y+1)=1  (*)

由（*）過點A（0, a）， 將點A坐標代入（*）得(y0+1)(a+1)="1," 即證

（2）由于D（x0, y0）,A(0， a) ∴AD的中點E（）點E在拋物線y=x2上

∴ 

聯(lián)立消去x0, y0得2a3+a2－2a=0   即a(2a2+a－2)=0(a>0)

解得：a=

考點：直線與圓相切，直線與拋物線相交的位置關系

點評：第一問還可先由A,D兩點寫出直線方程，然后利用圓心到直線距離等于圓的半徑列關系式整理化簡

 

練習冊系列答案
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（2013•嘉興二模）如圖，已知拋物線C1：x2=2py的焦點在拋物線C2：y=
12
x2+1上．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程及其準線方程；
（Ⅱ）過拋物C1上的動點P作拋物線C2的兩條切線PM、PN，切點M、N．若PM、PN的斜率積為m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范圍．

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精英家教網如圖，已知拋物線C1：x2=2py（p＞0）與圓C2：x2+y2=
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交于M、N兩點，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）設直線l與圓C2相切．
（�。┤糁本�l與拋物線C1也相切，求直線l的方程；
（ⅱ）若直線l與拋物線C1交與不同的A、B兩點，求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年福建省南平市高三適應性考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知拋物線C1：x2=2py（p＞0）與圓交于M、N兩點，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）設直線l與圓C2相切．
（�。┤糁本�l與拋物線C1也相切，求直線l的方程；
（ⅱ）若直線l與拋物線C1交與不同的A、B兩點，求的取值范圍．

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