Question

（2013•嘉興二模）如圖，已知拋物線C1：x2=2py的焦點在拋物線C2：y=

1

2

x2+1上，點P是拋物線C₁上的動點．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程及其準線方程；
（Ⅱ）過點P作拋物線C₂的兩條切線，M、N分別為兩個切點，設點P到直線MN的距離為d，求d的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意拋物線C₁的焦點為拋物線C₂的頂點（0，1），由此算出p=2，從而得到拋物線C₁的方程，得到C₁的準線方程；
（II）設P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，用直線方程的點斜式列出直線PM方程并將點P坐標代入，化簡可得

x

2 1

-4tx1+2t2-2=0，同理得到

x

2 2

-4tx2+2t2-2=0．然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，算出x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2，將直線MN的兩點式方程化簡并代入前面算出的式可得MN的方程為y=2tx+2-t²．最后利用點到直線的距離公式列式，采用換元法并且運用基本不等式求最值，即可算出P到直線MN的距離d的最小值為

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C₁的方程為x²=2py，∴拋物線的焦點為F(0，

p

2

)，…（2分）
∵拋物線C1：x2=2py的焦點在拋物線C₂上
∴

p

2

=1，可得p=2．…（4分）
故拋物線C₁的方程為x²=4y，其準線方程為y=-1．…（6分）
（Ⅱ）設P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，
可得PM的方程：y-(

1

2

x

2 1

+1)=x1(x-x1)，
∴點P坐標代入，化簡得t2=2tx1-

1

2

x

2 1

+1，即

x

2 1

-4tx1+2t2-2=0．
同理可得PN：y=x2x-

1

2

x

2 2

+1，得

x

2 2

-4tx2+2t2-2=0．…（8分）
由

x 2 1 -4tx1+2t2-2=0  x 2 2 -4tx2+2t2-2=0

得x₁、x₂是方程

x

2

-4tx +2t2-2=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2．…（*）
∵MN的方程：y-(

1

2

x

2 1

+1)=

1 2 x 2 1 +1-( 1 2 x 2 2 +1)

x1-x2

(x-x1)，
∴化簡整理，得y-(

1

2

x

2 1

+1)=

1

2

(x1+x2)(x-x1)
代入（*）式，可得MN的方程為y=2tx+2-t²．…（12分）
于是，點P到直線MN的距離d=

|4t2-t2+2-t2|

1+4t2

=2

(1+t2)2 1+4t2

．
令s=1+4t²（s≥1），則d=

1

2

s+ 9 s +6

≥

1

2

6+6

=

3

（當s=3時取等號）．
由此可得，當P坐標為（±

2

，

1

2

）時，點P到直線MN的距離d的最小值為

3

．…（15分）

點評：本題給出拋物線C₁的焦點為拋物線C₂的頂點，求拋物線C₁的方程并討論過拋物線C₁上動點P作拋物線C₂的兩條切線的問題．著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質、一元二次方程根與系數(shù)的關系和直線與圓錐曲線的位置關系等知識點，屬于中檔題．