Question

（2012•惠州模擬）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，都有a_n=

2

3

（S_n+n）．
（1）求證：數列{a_n+1}是等比數列，并求{a_n}的通項公式．
（2）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得a₁=2，當n≥2且n∈N^*時，有a_n=S_n-S_n-1，從而得a_n-3a_n-1=2，{a_n+1}是以a₁+1=3為首項，3為公比的等比數列，從而可求得a_n+1=3ⁿ，繼而可得答案；
（2）利用（1）的結論a_n=3ⁿ-1，可得na_n=n•3ⁿ-n，設數列{n•3ⁿ}的前n項和為K_n，利用錯位相減法可求得K_n，從而可求得T_n．

解答：解：（1）∵對任意n∈N^*，都有a_n=

2

3

（S_n+n），且S₁=a₁，
∴a₁=

2

3

（S₁+1）=

2

3

（a₁+1），得a₁=2…1分
又由a_n=

2

3

（S_n+n），得S_n=

3

2

a_n-n，
當n≥2且n∈N^*時，有a_n=S_n-S_n-1=（

3

2

a_n-n）-[

3

2

a_n-1-（n-1）]=

3

2

a_n-

3

2

a_n-1-1，…3分
即a_n-3a_n-1=2，
∴a_n+1=3（a_n-1+1），由此表明{a_n+1}是以a₁+1=3為首項，3為公比的等比數列．
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1…5分
故數列{a_n}的通項公式為a_n=3ⁿ-1…6分
（2）na_n=n（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n，設數列{n•3ⁿ}的前n項和為K_n，
則K_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ…8分
∴3K_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減，得
-2K_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹…10分
∴K_n=

(2n-1)•3n+1+3

4

…12分
因此T_n=K_n-

n(n+1)

2

=

(2n-1)•3n+1-2n(n+1)+3

4

…14分

點評：本題考查數列求和，考查等比關系的確定，考查錯位相減法及等差數列的求和，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．